Calculation 2-欧拉函数的运用

 

 

 

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 介绍欧拉函数：（公式推导，可以看相关的资料，此处不提及）

首先我们必须要知道欧拉函数是干什么的
欧拉函数的目的是通过某个特定的规律求出n之前与它互质的数的个数
设φ函数为欧拉函数,那么φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的
所有质因数(这里说的质因子是种类,不是个数)(比如说12=2*2*3，它的因子都是质数)，x是不为0的整数
那么这道题目就好办了化简上述公式：如果p1....pn是x的质因数
φ(x)=x*((p1-1)/p1)((p2-1)/p2)((p3-1)/p3)((p4-1)/p4)…..((pn-1)/pn)(不用忽略前面还有一个x要乘上)
如此下面的代码就是欧拉函数了接下来要说的是，如果我们知道了n之前与它互质的数的和
,那么不互质怎么求，很简单,前n项和sum(n)=(n+1)*n/2高中的知识点;
接着(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)。
那如何求n之前与它互质的数的和,首先我们应该知道一个定理就是
如果gcd(n,i)=1,那么gcd(n,n-i)=1,如此前n个数中如果i与n互质那么n-i与n也是互质的
如此来，n之前与它互质的数的和=(a1+n-a1)+(a2+n-a2)+(a3+n-a3)+(a4+n-a4)+......(an+n-an)
这不正是(有多少对i与n-i乘以n)就是结果了。而互质的个数我们
又知道了,那么有多少对就是φ(x)/2了,互质的数的和=φ(x)/2*n.
接下来(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)就可以求出结果

/*
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Language: G++		Result: Accepted
VJ RunId: 4178187		Real RunId: 14209894
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const LL mod=1000000007;
LL n;
LL getOL(LL x) {
    LL res=x;
    for(int i=2; i<=sqrt(x); i++) {
        if(x%i==0) {
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0) {
                x/=i;
            }
        }
    }
    if(x>=2) {
        res=res/x*(x-1);
    }
    return res;
}
int main() {
    while(~scanf("%I64d",&n),n) {
        LL ans1=n*(n+1)/2-n;//n前,所以n不包括在求和内
        LL ans2=getOL(n)*n/2;
        printf("%I64d\n",(ans1-ans2)%mod);
    }
    return 0;
}