标签：
一、“近似”的两种分类
一个复杂的函数，可以通过一系列的“基底函数”（base function）的组合来近似，也就是函数逼近，有两种典型的方法：
- 基于全域的逼近，如傅立叶级数展开；
- 基于子域的分段函数组合，如有限元方法。
第一种函数逼近方式，就是力学分析中经典的瑞利-里兹方法（Rayleigh-Ritz），这种方法的特点是基底函数比较复杂，一般是高阶连续函数，通常仅需采用前面几阶函数组合即可得到较高的逼近精度，比如展开为傅立叶级数。
第二种函数逼近方式就是现代力学分析中的有限元思想，即“分段逼近”，每一个分段函数一般比较简单，采用线性函数或者二次函数即可，但是需要较多的分段才能得到逼近效果，工作量比较大。
关于两种逼近方法更加形象的说明，可以参考曾攀老师书中的一个图片，也就是下面这张图
1.1 利用基于全域的逼近方法求近似解
瑞利-里兹法的核心观点就是选取“试函数”，这个试函数必须首先满足位移边界条件，当然还会带有一些待定系数，然后将其他的变量都用这个“试函数”来表达，通过其他的边界条件或者能量方法（虚功原理或极小势能原理）来求解待定系数。
1.1.1 利用虚功原理求解近似解
简单来说，虚功原理的含义就是如果系统有一个虚位移，那么外力在虚位移上所做的外虚功应该内力所做的内虚功。
内虚功
\begin{equation}
\delta U=\intop_{\varOmega}\sigma_{x}\delta\varepsilon_{x}d\varOmega
\end{equation}
外力虚功
\begin{equation}
\delta W=\intop_{l}p\delta vdx
\end{equation}
由于选取的“试函数”只需满足位移边界条件即可，所以“试函数”的选取条件非常宽泛。但是不同的试函数求得最终结果的精度确实相差很大的，所以选取一个合理的试函数非常关键。
比如，对于纯弯曲的简支梁而言，它的位移边界条件就是在0和L处的位移为零，而且位移的形状应该是中间大，然后逐渐向两端减小为0。很自然的首先想到的就是二次函数抛物线，另外一种就是三角函数正弦曲线。为简化，这里将梁的长度L均取为1
画出上述两个试函数在0~1之间的图形
可以看到二者都符合位移边界条件，而且形状的大概模样和预想的梁挠度曲线是一致的。
当试函数采用$c_{1}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$时，根据虚功原理，可以求得系数c1，得到最终的挠曲线为
\begin{equation}
\frac{4L^{4}p_{0}}{\pi^{5}\text{EI}}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)
\end{equation}
当试函数采用$c_1 \left(L x-x^2\right)$时，得到的最终挠曲线为
\begin{equation}令$\frac{p_{0}}{EI}=1$和$L=1$，分别画出0~L直接解析解、采用两种试函数得到的近似解的图形
可以看出采用$c_{1}\sin\left(\frac{\pi x}{L}\right)$作为试函数，最终的到曲线v1(x)与解析解v0(x)是非常接近的，在上图中几乎看不出差别，但是采用$c_1 \left(L x-x^2\right)$作为试函数求解出的近似解却和解析解相差比较大，进一步放大图形
可以看到，当图形放大之后，才能看出v0(x)和v1(x)直接的细微差别。
《有限元分析基础教程》（曾攀）笔记二-梁单元方程推导（二）：简支梁挠曲线近似解
标签：
原文地址：http://www.cnblogs.com/SimuLife/p/4690949.html
