UVa 10006 快速幂运算

知识补充：

• 如果a和b关于m同于，那么（a - b ）是m的整数倍。
• 负数取余运算：不同的语言有不同的方法，其中C和JAVA是按第一个数的符号确定结果的符号，C++则要依据系统而定。 取余运算的发展： $$1.(a + b) \% p = (a \% p + b \% p) \% p$$ $$2.(a * b) \% p = (a \% p * b \% p) \% p$$ $$3.(a - b) \% p = (a \% p - b \% p) \% p$$ $$4.(a ^ b)\%p = ((a \% p) ^ b) \% p$$
• 费马定理：对于一个不能被p整除的数a： $$a^p \equiv a\ mod\ p$$ $$a^{p - 1} \equiv 1 \ mod \ p$$
• 快速幂算法（求$x^n \% mod)$：
  

有两种实现方式：
1.二进制实现:
把$x^n$定界化为二进制表示的形式，然后用取余公式实现。如

$$x^{22} = x ^ 2 * x ^ 4 * x ^ {16} （原理是：22的二进制表示为10110）$$
然后计算： $$(\ ((x ^ 2 \%mod )*(x^4 \%mod)\%mod) * (x^{16}\%mod)\%mod)\%mod$$
2.递归实现（实际是二进制实现倒着的形式）：
原理是：如果n是偶数就求$(x * x) ^{n / 2}$,这样一直递归下去，直到$n / 2$为0为递归出口。如果n是奇数就求$(x * x) ^{n / 2} x$,这样一直递归下去，直到$n / 2$为0为递归出口。

代码部分：

二进制实现快速幂:

typedef long long LL;

LL mod(LL x, LL n, LL mod) {
    LL res = 1;
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res = res * (x % mod) % mod;
        n >>= 1;
        x = x * x;
    }
    return res;
}

递归实现代码

typedef long long LL;

LL mod(LL x, LL n, LL mod) {
    if (n == 0) return 1;
    LL res = mod(x * x % mod, n / 2, mod);
    if (n & 1) res = res * x %mod;
    return res;
}

UVa 10006的代码:

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL doit(LL x, LL n, LL mod) {
    LL res = 1;    //从2的0次方开始
    while (n > 0) {
        if (n & 1) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

bool isprime(int x) {
    for (int i = 2; i * i <= x; i++) {
        if (x % i == 0) return false;
    }
    return x != 1;
}

int main(void)
{
    int n;
    while (scanf("%d", &n), n) {
        bool ans = true;
        if (isprime(n)) { printf("%d is normal.\n", n); continue; }
        for (int i = 2; i < n; i++) {
            if (doit(i, n, n) != i) {
                ans = false;
                break;
            }
        }
        if (ans) printf("The number %d is a Carmichael number.\n", n);
        else printf("%d is normal.\n", n);
    }
    return 0;
}