背包问题详解

时间：2015-07-31 23:06:17 阅读：140 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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01背包

　　一个背包中容量为V，现在有N个物品，每个物品的第i个物品体积为weight[i]，价值为value[i]，现在往背包里面装东西，怎么装能使背包的内物品价值最大？这是01背包的最基础最根本的问题。01代表的意思是该物品取或者不取。顺便提一下各种背包之间的区别，完全背包每种物品的数目是无限种，多重背包的每种物品数目是有限中。

　　用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

　　　　　　　　f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

　　把这个过程理解为当取第i件物品是，价值为f[i-1][v-c[i]]+w[i]；

　　当不取第i件物品时，价值为f[i-1][v];

作图便是如下：内层循环为v从1到V，外层循环是n从1到N；

　　测试代码：

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3 #define  V 1500
 4 unsigned int f[10][V];//全局变量，自动初始化为0
 5 unsigned int weight[10];
 6 unsigned int value[10];
 7 #define  max(x,y)    (x)>(y)?(x):(y)
 8 int main()
 9 {
10     
11     int N,M;
12     cin>>N;//物品个数
13     cin>>M;//背包容量
14     for (int i=1;i<=N; i++)
15     {
16         cin>>weight[i]>>value[i];
17     }
18     for (int i=1; i<=N; i++)
19         for (int j=1; j<=M; j++)
20         {
21             if (weight[i]<=j)
22             {
23                 f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
24             }
25             else
26                 f[i][j]=f[i-1][j];
27         }
28     
29     cout<<f[N][M]<<endl;//输出最优解
30 
31 }

多重背包

　　已知一个容量为v的背包和N件物品，第i件物品最多有num[i]件，没见物品的重量是weight[i],收益是cost[i];

　　物品个数N = 3，背包容量为V = 8，则背包可以装下的最大价值为64.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　技术分享

　　基本思路：直接扩展01背包

　　状态转移方程：

　　　　　　　　f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-k*weight[i]+k*cost[i]};其中0<=k&&k<=j/weight[i],这是与01背包不同之处，边界条件。

　　直接抄了网上的代码，如下：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 3;//物品个数
 4 const int V = 8;//背包容量
 5 int Weight[N + 1] = {0,1,2,2};
 6 int Value[N + 1] = {0,6,10,20};
 7 int Num[N + 1] = {0,10,5,2};
 8 int f[N + 1][V + 1] = {0};
 9 /*
10 f[i][v]:表示把前i件物品放入容量为v的背包中获得的最大收益。
11 f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - k * Weight[i]] + K * Value[i]);其中1 <= k <= min(Num[i],V/Weight[i])
12 //初始化
13 f[i][0] = 0;
14 f[0][v] = 0;
15 */
16 int MultiKnapsack()
17 {
18     int nCount = 0;
19     //初始化
20     for (int i = 0;i <= N;i++)
21     {
22         f[i][0] = 0;
23     }
24     for (int v = 0;v <= V;v++)
25     {
26         f[0][v] = 0;
27     }
28     //递推
29     for (int i = 1;i <= N;i++)
30     {
31         for (int v = Weight[i];v <= V;v++)
32         {
33             f[i][v] = 0;
34             nCount = min(Num[i],v/Weight[i]);//是当前背包容量v，而不是背包的总容量
35             for (int k = 0;k <= nCount;k++)
36             {
37                 f[i][v] = max(f[i][v],f[i - 1][v - k * Weight[i]] + k * Value[i]);
38             }
39         }
40     }
41     return f[N][V];
42 }
43 int main()
44 {
45     cout<<MultiKnapsack()<<endl;
46     system("pause");
47     return 1;
48 }

完全背包

　　完全背包只是每种物品的数量被放到了无限大，此时相对与多重背包变化的只是范围。

　有一个容量为V的背包和N件物品，第i件物品的重量是weight[i]，收益是cost[i]。每种物品都有无限件，能放多少就放多少。在不超过背包容量的情况下，最多能获得多少价值或收益？

　 1.基本思路：直接扩展01背包

　　状态转移方程：

　　　　　　　　f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i][v - K * weight[i]] + K * Value[i]); 其中 0<= K * weight[i] <= j,(v指此时背包容量，不是总容量)

 1 #include <iostream>
 2 #include <assert.h>
 3 using namespace std;
 4 /*
 5 f[i][v]:前i件物品放入背包容量为v的背包获得的最大收益
 6 
 7 f[i][v] = max(f[i - 1][v],f[i - 1][v - k * Wi] + k * Vi,其中 1<=k<= v/Wi)
 8 
 9 边界条件
10 f[0][v] = 0;
11 f[i][0] = 0;
12 */
13 
14 const int N = 3;
15 const int V = 5;
16 int weight[N + 1] = {0,3,2,2};
17 int Value[N + 1] = {0,5,10,20};
18 
19 int f[N + 1][V + 1] = {0};
20 
21 int Completeknapsack()
22 {
23     //边界条件
24     for (int i = 0;i <= N;i++)
25     {
26         f[i][0] = 0;
27     }
28     for (int v = 0;v <= V;v++)
29     {
30         f[0][v] = 0;
31     }
32     //递推
33     for (int i = 1;i <= N;i++)
34     {
35         for (int v = 1;v <= V;v++)
36         {
37             f[i][v] = 0;
38             int nCount = v / weight[i];
39             for (int k = 0;k <= nCount;k++)
40             {
41                 f[i][v] = max(f[i][v],f[i - 1][v - k * weight[i]] + k * Value[i]);
42             }
43         }
44     }
45     return f[N][V];
46 }
47 
48 int main()
49 {
50     cout<<Completeknapsack()<<endl;52     return 1;
53 }