64 - 数据流中的中位数 || STL 堆

题目：
如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后位于中间的数值。如果从数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

思路解析

数据是从数据流读出，因此数组的个数是再逐渐的增加。如何选用一个容器，能够存储数据，并能够给出中位数。

• 无序数组：插入O(1) partation操作找出中位数 O(n)
• 有序数组：插入O(n) 找出中位数O(1)
• 有序链表：插入O(n) 找出中位数O(1)
• 搜索二叉树：插入O(logn)~O(n)，找出中位数O(logn)~O(n)
• AVL：插入O(logn)，在节点中添加计数信息，找出中位数O(1)

如果将容器中的数据按照顺序排列，那么最中间的两个数或者一个数，可以将数据平均分成2部分。
那么以偶数个数据节点为例：最中间的两个数中的左侧数字，是前一半数据的最大值；中间数右侧数字，是后一半数据的最小值。因此只要保证，数据能够平均分成2部分，前一部分都小于后一部分，那么中位数是前一部分的最大值和后一部分的最小值的平均值。

为了实现O(1)得到最大最小值，采用最大堆保存前一半数据，最小堆保存后一半数据
为了实现平均：当容器中数据个数是偶数：插入到最小堆；总数是奇数，插入到最大堆。

当总数是偶数时，应该插入最小堆，但如果此时的数据小于最大堆的最大值，即按值大小来说，它应该属于前一部分（最大堆）；因此我们将该值插入到最大堆，然后取出最大堆中的最大值，插入到最小堆。
同理，奇数时，数据大于最小堆的最小值，也应该先如最小堆，将最小堆中的最小值，移动到最大堆。

关于 C++ STL 堆的知识：

heap 的头文件 #include<algorithm>
注意：_First, _Last 是容器的迭代器，如vector。
参考：c++中STL之heap, priority_queue使用

1. make_heap

make_heap(_First, _Last)
make_heap(_First, _Last, _Comp) // 对2个迭代器之间的元素建堆

默认是建立最大堆的。对int类型，可以在第三个参数传入greater<int>()得到最小堆。

2. push_heap

push_heap(_First, _Last) // 首先在容器中添加一个元素，然后push_heap，处理最后添加的一个元素

新添加一个元素在末尾，然后重新调整堆序。也就是把元素添加在底层vector的end()处。每次只能处理 1 个。

3. pop_heap

pop_heap(_First, _Last) // 先pop_heap，然后在容器中pop

这个算法跟push_heap类似，参数一样。不同的是我们把堆顶元素取出来，放到了数组或者是vector的末尾，用原来末尾元素去替代，然后end迭代器减1

4. sort_heap

.sort_heap(_First, _Last) // 堆排序

template<class T>
class DynamicArray {
private:
    vector<T> max; // 数组的前一半一半最大堆，最大堆中的数全部小于最小堆
    vector<T> min; // 数组的后一半构成最小堆，
public:
    void Insert(T num) {
        // 已有元素总数是偶数，插入最小堆
        if (((min.size() + max.size()) & 0x01) == 0) {
            if (max.size() > 0 && num < max[0]) {
                // num 小于最小堆的最小值，按值看应该插入最大堆，因此，先插入max，将max中的最大值，移动到min
                max.push_back(num);
                push_heap(max.begin(), max.end(), less<T>());
                num = max[0]; // 取出最大堆的最大值，插入到最小堆
                pop_heap(max.begin(), max.end(), less<T>());
                max.pop_back();
            }
            min.push_back(num);
            push_heap(min.begin(), min.end(), greater<T>());
        } else {
            // 已有元素总数是奇数，插入最大堆
            if (min.size() > 0 && num > min[0]) {
                // num 大于最大堆的最大值，按值看应该插入最小堆
                min.push_back(num);
                push_heap(min.begin(), min.end(), greater<T>());
                num = min[0];
                pop_heap(min.begin(), min.end(), greater<T>());
                min.pop_back();
            }
            max.push_back(num);
            push_heap(max.begin(), max.end(), less<T>());
        }
    };
    T GetMedian() {
        int size = min.size() + max.size();
        if (size == 0)
            throw exception("No numbers are avliable");
        if ((size & 0x01) == 1)
            return min[0];
        else
            return (min[0]+max[0])/2;
    }
};

测试案例：《剑指offer》 GitHub