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问题描述：求一个整数的n次幂，对m取余。
1 int Pow(int num, int n, int m)
2 {
3 int res = 1;
4
5 while (n--) {
6 res *= num;
7 }
8
9 return res % m;
10 }
以上代码有个隐患，当n足够大的时候，res会溢出，因此需要优化。
有这样一个公理：两个数的积对另一个数取余，等于这两个数分别对第三个数取余的乘积再对第三个数取余。也就是a*b%c = (a%c)*(b%c)%c
根据以上公理，可以对上面的代码进行优化：
1 int Pow(int num, int n, int m)
2 {
3 int res = 1;
4
5 while (n--) {
6 res *= num;
7 res %= m; // 增加的代码
8 }
9
10 return res % m;
11 }
思路一的时间复杂度为O(n)，我们想更快一点，就需要再次优化。
我们知道，a^n = a^(n/2) * a^(n/2) (n为偶数)，a^n = a^(n/2) * a^(n/2) * a (n为奇数)
因此，如果要求a^n，只需要求得a^(n/2)，根据此理论，可写出如下代码，可将时间复杂度优化为O(logn)：
1 int Pow(int num, int n, int m)
2 {
3 if (n == 1) {
4 return num % m;
5 }
6
7 int tmp = Pow(num, n/2, m);
8 if (n % 2 == 0) // n为偶数
9 {
10 return (tmp * tmp) % m;
11 }
12 else { // n为奇数
13 return (tmp * tmp * num) % m;
14 }
15 }
思路二中，我们采用了递归求a^(n/2)，成功将时间复杂度优化到O(logn)，但是递归求解会产生很多函数调用，使得效率不是看上去的那么高，我们一般优化递归的做法是将递归写为递推。
将n写为二进制，以n=11为例：a^n = a^11 = a^(2^0 + 2^1 + 2^3)
这样，根据以上推理，可将思路二中的递归写为递推：
1 int Pow(int num, int n, int m)
2 {
3 int res = 1;
4
5 // 把n的二进制数从低位到高位遍历，如果为1，则乘以num，
6 // 每循环一次，num变为之前的平方，n变为之前的一半
7 while (n) {
8 // 二进制的最后一位为1，是原始n的第几个1，就乘以num^(2的几次幂)
9 if (n & 1 == 1) {
10 res *= (num % m);
11 }
12 num *= num;
13 n >>= 1;
14 }
15
16 return res % m;
17 }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/mhscn/p/4700151.html
