标签：
作者 白宁超
2015年8月4日13:08:28
摘要:本文针对统计学学习之离散章节，本科针对离散数学以及概率论学习期间，总是一味觉得软件开发与数学有何联系，根本学其无用。然而走进数据分析，大数据处理才发现其重要性。如何计算和利用概率分布，采用概率树不免增加了计算的复杂度，有没有更好的计算方法？本篇我们介绍一些特殊的概率分布，这些概率分布具有固定的形式，我们懂得这些模式善加利用能快速求解概率、期望、方差等问题。本篇文章思路采用单独剖析，整合梳理，公式实现、外加扩展的方式。首先由于实际问题对概念、公式、意义等基本问题进行梳理。然后针对其优缺点和适用环境，循环渐进的分析各种分布的情况。最后对三者分布区别联系进行总结，结果实际案例和当前应用予以结尾。本文原创，转载标明出处。
- 回顾题引
- 几何分布
- 二项分布
- 泊松分布
- 本章小结
- 内容扩展
- 参考文献
小明滑雪: 每次（独立事件）试滑成功的概率0.2，不成功的概率0.8.则
| 成功 | 失败 |
|---|---|
| 0.2 | 0.8 |
1、试滑两次成功的概率？
2、试滑一次或两次猜中的概率？
3、试滑10000次，首次成功的概率？
4、试滑第10000次以上成功的概率？
设X最终试滑成功次数，则：
P(X=1)=P(第1次试滑成功)=0.2 【注：试滑一次成功的概率】
P(X=2)=P(第1次试滑失败AND第2试滑成功)=0.2 * 0.8=0.16 【注：试滑两次成功的概率】
P(X<=2)=P(X=1)+P(X=2)=0.36 【注：试滑一次或两次猜中的概率】
$$
P(x=10000)=q^{10000-1}p=0.8^{9999}*0.2
$$
$$
P(x>10000)=q^{10000}p=0.8^{10000}
$$
什么是几何分布？
【百度百科】几何分布是离散型概率分布。在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。
【课本】如果p代表成功概率，则1-p即q代表失败概率使用以下：
公式叫做概率的几何分布。
- 优点：
简化概率、数学期望、方差的计算- 缺点： 试验次数一定，求成功次数。或者成功与失败事件非独立。
/**
* 在n次伯努利试验中，试验r次才得到第一次成功的机率 P(X=r)=pq^{r-1}
* @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
* @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
* @param r 整型，实验次数
* @return PX double型保留两位小数，第一次成功的机率
*/
public static double FirstSuccess(double p,double q,int r)
{
double PX=0;
double k=(double)(r-1);
PX= p*(Math.pow(q, k));
return PX;
}
/**
* 在n次伯努利试验中，需要试验r次以上才第一次成功： P(X>r)=q^r
* @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
* @param r 整型，实验次数
* @return PX double型保留两位小数，需要试验r次以上才第一次成功
*/
public static double MoreSuccess(double q,int r)
{
double PX=0;
PX= Math.pow(q, r);
return PX;
}
/**
* 在n次伯努利试验中，试验r次或者不到r次才第一次成功：P(X<=r)=1-q^r
* @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
* @param r 整型，实验次数
* @return MorePX double型保留两位小数，需要试验r次以上才第一次成功
*/
public static double LessSuccess(double q,int r)
{
double MorePX=0;
MorePX= Math.pow(q, r);
double PX=Double.valueOf(1.0-MorePX);
return PX;
}
/**
* 在n次伯努利试验中，几何分布的期望E(X)=1/p
* @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
* @return EX double型保留两位小数，几何分布的期望
*/
public static double Expectation(double p)
{
double EX=0;
EX= 1.0/p;
return EX;
}
/**
* 在n次伯努利试验中，几何分布的方差Var(X)=q/p^2
* @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
* @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
* @return VX double型保留两位小数，几何分布的方差
*/
public static double Variance(double p,double q)
{
double VX=0;
VX= q/Math.pow(p, 2);
return VX;
}
什么是二项分布？
【百度百科】二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。
【课本】在相互独立事件中，每道题答对概率为p，答错概率为q。在n个问题中答对r个问题的概率为：
这类问题称之为二项分布。
【统计学定义二项分布】
在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n = 1时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
条件：
1．正在进行一系列独立试验；
2．每次试验都存在失败和成功的可能，每一次试验的成功概率相同;
3．试验次数有限。
表达式（试验次数n，成功概率p）：
ξ~B(n,p)
其中
优点：在试验次数一定，求成功次数时，几何分布显示不适合的情况下，给予这类问题二项分布能更好的解决。
缺点：但是面对试验次数不固定，发生事件概率的情况下，显然几何分布与二项分布都不能解决，这里也体现出泊松分布的优势
/**
* 在n次伯努利试验中，在n次独立的伯努利试验发生r次的概率为
* P(X=r)=n-C_r*p^{r}*q^{n-r}且n-C_r=n!/r!*(n-r)!
* @param n int，表示总的独立事件
* @param r int，表示发生r次
* @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
* @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
* @return PX double型保留两位小数，第一次成功的机率
*/
public static double RSucess(int n,int r,double p,double q)
{
double PX=0;
double k=(double)(n-r);
int kk=n-r;
//ncr即n-C_r=n!/r!*(n-r)!
double ncr=NumFormat.factorial(n)/(NumFormat.factorial(r)*NumFormat.factorial(kk));
PX=ncr*(Math.pow(p, r))*(Math.pow(q, k));
return PX;
}
/**
* 在n次伯努利试验中，二项分布的期望E(X)=np
* @param n int型，表示试验的次数
* @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
* @return EX double型保留两位小数，几何分布的期望
*/
public static double Expectation(int n,double p)
{
double EX=0;
EX= Double.valueOf(n)*p;
return EX;
}
/**
* 在n次伯努利试验中，二项分布的方差Var(X)=npq
* @param n int型，表示试验的次数
* @param p double型保留一位小数，表示成功的概率
* @param q double型保留一位小数，表示失败的概率即1-p
* @return VX double型保留两位小数，二项分布的方差
*/
public static double Variance(int n,double p,double q)
{
double VX=0;
VX= Double.valueOf(n)*p*q;
return VX;
}
【课本】单独事件在给定区间随机独立发生，已知事件平均发生数且有限次数，通过以下计算： $$ P(X=r) = {e^{-λ}λ^r\over r!} $$这样的一类事件叫做泊松分布。
特点
1、不需要一系列试验，描述事件特定区间发生次数。
2、两个独立的泊松分布相加也符合泊松分布。（即n>50且p<0.1时或np近似等于npq时）
3、特定条件下可以用来近似代替二项分布。
因为在分时间窗口的时候有个假设：每个时间窗口最多只有一个乘客到达。(时间区间乘客问题)
不需要一系列试验，描述事件特定区间发生次数，特别适用。另外一定条件下替换二项分布带来简便的运算。
/**
* 泊松分布的概率P(X=r) = {e^{-λ}λ^r\over r!（e常数2.718，平均发生次数为λ，区间内r次事件）
* @param e常数2.718
* @param λ 整型，平均发生次数
* @param r 整型，区间内r次事件
* @return PX double型保留两位小数，泊松分布的概率
*/
public static double BosongSuccess(int λ,int r)
{
double PX=0;
double e=2.718;
PX= Math.pow(e, -Double.valueOf(λ))*Math.pow(λ, r)/NumFormat.factorial(r);
return PX;
}
/**
* 泊松分布的期望E(X)=λ
* @param λ double型保留两位小数，表示平均发生次数为λ
* @return VX double型保留两位小数，泊松分布的期望
*/
public static double Expectation(double λ)
{
double EX=0;
EX= λ;
return EX;
}
/**
* 泊松分布的方差Var(X)=λ
* @param λ double型保留两位小数，表示平均发生次数为λ
* @return VX double型保留两位小数，泊松分布的方差
*/
public static double Variance(double λ)
{
double VX=0;
VX= λ;
return VX;
}
应用条件：
进行一系列独立试验，每次试验成功或失败且每次成功概率相同。目的：取第一次成功需要进行多少次试验。
表达式（X符合几何分布，其中成功概率p）：
X ~ Geo (p)
几何分布概率算式成立：
1、第r次试验第一次成功： P(X=r)=pq^{r-1}
2、需要试验r次以上才第一次成功： P(X>r)=q^r
3、试验r次或者不到r次才第一次成功：P(X<=r)=1-q^r
期望方差：
E(X)=1/p 和 Var(X)=q/p^2
应用条件：
进行一系列次数有限的独立试验，每次试验成功或失败且每次成功概率相同。目的：第N次试验中成功多少次。
表达式（X符合二项分布，n是试验次数，其中成功概率p）：
X ~ B (n，p)
两点分布：
当n=1时，记住 X ~ B (1，p) 即两点分布。
二项分布概率算式成立：
期望方差：
E(X)=np 和 Var(X)=npq
应用条件：
单事件在给定区间内随机、独立的发生，已知给定区间事件平均发生次数且有限。目的：给定区间内事件发生次数。
表达式（X符合泊松分布，其中成功概率p）：
X ~ Po(λ)
泊松分布概率算式成立：$$ P(X=r) = {e^{-λ}λ^r\over r!} $$ 期望方差：E(X)=λ 和 Var(X)=λ 如果X~Po(λx),Y~Po(λy)且X和Y是独立的，则X+Y~Po（λ_x+λ_y） 如果X~B(n，p)的n很大而p很小时，X可以近似表示X~Po（np）。
总结:小加大减
1、几何分布随机函数
2、matlab生成随机数函数
3、概率论05 离散分布
4、SPSS中八类常用非参数检验之二：二项分布（Binomial）检验
5、指数分布与泊松分布的随机值的产生程序原理解析
6、几种常见的分布
7、深入浅出统计学
标签：
原文地址：http://www.cnblogs.com/baiboy/p/tjx7.html
