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求和问题

时间:2015-08-05 20:00:55      阅读:115      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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主要是计算前n项和的公式。

前n项和的立方公式为   : s(n)=(n*(n+1)/2)^2;

 

前n项和的平方公式为:s(n)=n*(n+1)(2*n+1)/6;

 

转自百度搜索:

公式证明  迭代法:

 

   我们知道:

 

  0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

 

  1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

 

  2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式,此公式可由同种方法得出,取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1,迭代即得。

 

  取公式:(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

 

  系数可由杨辉三角形来确定

 

  那么就得出:

 

  (N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

 

  N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

 

  (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

 

  ...................

 

  2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

 

  .

 

  于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

 

  左边=(N+1)^4-1

 

  右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

 

  所以呢

 

  把以上这已经证得的三个公式代入

 

  4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

 

  得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

 

  移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

 

  等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

 

  即

 

  1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

 

  大功告成!

 

  立方和公式推导完毕

 

  1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

求和问题

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原文地址:http://www.cnblogs.com/wangmengmeng/p/4705439.html

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