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MS笔试题 -- Joseph_Circle整理全

时间:2015-08-05 22:22:13      阅读:367      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:joseph_circle

题目:n个数字(0,1,…,n-1)形成一个圆圈,从数字0开始,每次从这个圆圈中删除第m个数字(第一个为当前数字本身,第二个为当前数字的下一个数字)。当一个数字删除后,从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

分析:本题就是有名的约瑟夫环问题。既然题目有一个数字圆圈,很自然的想法是我们用一个数据结构来模拟这个圆圈。在常用的数据结构中,我们很容易想到用环形列表。我们可以创建一个总共有m个数字的环形列表,然后每次从这个列表中删除第m个元素。

在参考代码中,我们用STL中std::list来模拟这个环形列表。由于list并不是一个环形的结构,因此每次跌代器扫描到列表末尾的时候,要记得把跌代器移到列表的头部。这样就是按照一个圆圈的顺序来遍历这个列表了。

这种思路需要一个有n个结点的环形列表来模拟这个删除的过程,因此内存开销为O(n)。而且这种方法每删除一个数字需要m步运算,总共有n个数字,因此总的时间复杂度是O(mn)。当m和n都很大的时候,这种方法是很慢的。
接下来我们试着从数学上分析出一些规律。首先定义最初的n个数字(0,1,…,n-1)中最后剩下的数字是关于n和m的方程为f(n,m)。
在这n个数字中,第一个被删除的数字是(m-1)%n,为简单起见记为k。那么删除k之后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1,并且下一个开始计数的数字是k+1。相当于在剩下的序列中,k+1排到最前面,从而形成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样(最初的序列是从0开始的连续序列),因此该函数不同于前面函数,记为f’(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是剩下序列的最后剩下数字f’(n-1,m),所以f(n,m)=f’(n-1,m)。

接下来我们把剩下的的这n-1个数字的序列k+1,…,n-1,0,…k-1作一个映射,映射的结果是形成一个从0到n-2的序列:

k+1    ->    0
k+2    ->    1

n-1    ->    n-k-2
0   ->    n-k-1

k-1   ->   n-2

把映射定义为p,则p(x)= (x-k-1)%n,即如果映射前的数字是x,则映射后的数字是(x-k-1)%n。对应的逆映射是p-1(x)=(x+k+1)%n。

由于映射之后的序列和最初的序列有同样的形式,都是从0开始的连续序列,因此仍然可以用函数f来表示,记为f(n-1,m)。根据我们的映射规则,映射之前的序列最后剩下的数字f’(n-1,m)= p-1 [f(n-1,m)]=[f(n-1,m)+k+1]%n。把k=(m-1)%n代入得到f(n,m)=f’(n-1,m)=[f(n-1,m)+m]%n。

经过上面复杂的分析,我们终于找到一个递归的公式。要得到n个数字的序列的最后剩下的数字,只需要得到n-1个数字的序列的最后剩下的数字,并可以依此类推。当n=1时,也就是序列中开始只有一个数字0,那么很显然最后剩下的数字就是0。我们把这种关系表示为:

                     0                              n=1
f(n,m)={
                    [f(n-1,m)+m]%n     n>1

尽管得到这个公式的分析过程非常复杂,但它用递归或者循环都很容易实现。最重要的是,这是一种时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)的方法,因此无论在时间上还是空间上都优于前面的思路。

代码如下:(好霸气的方法) ----- 数组实现Joseph_Circle

int Joseph_Circle(int n, unsigned int m)
{
    if(n <= 0 || m < 0) return -1;
    
    int Last = 0;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        Last = (Last + m) % i;
    }
    return Last;
}


链表实现Joseph_Circle (一)

返回最后剩下的节点,返回该节点的地址!!!

代码及解析如下:

//本代码涉及的知识点
//从无头链表中删除一个节点
//申请释放内存
//防止野指针的产生
//环状链表循环操作

//代码及解析如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <set>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <algorithm>
#define MAXN 10010
#define RST(N)memset(N, 0, sizeof(N))
using namespace std;

typedef int data_t;

typedef struct ListNode
{
    data_t data;
    struct ListNode *next;
}LNode, *pNode;

pNode Create(int n)
{
    pNode head = NULL;
    pNode p1 = NULL, p2 = NULL;
    p1 = p2 = (pNode)malloc(sizeof(LNode));
    int value = 1;   //此例链表值是从1开始的
    while(value <= n)
    {
        p1->data = value++;
        if(head == NULL)
            head = p1;
        else
            p2->next = p1;
        p2 = p1;
        p1 = (pNode)malloc(sizeof(LNode));
    }
    p2->next = head;
    return head;
}

pNode Joseph_Circle(pNode head, int m)
{
    assert(head != NULL);
    pNode pCur = head;
    pNode pTemp = NULL;
    int cnt = 1;
    while(pCur->next != pCur)  //条件
    {
        if(cnt == m)
        {
            cnt = 1;
            pTemp = pCur->next;  //删除一个节点
            pCur->data = pTemp->data;
            pCur->next = pTemp->next; //此时直接跳向了下一个节点了,所以不用再pCur = pCur->next了
            free(pTemp);    //释放
            continue;
        }
        cnt++;
        pCur = pCur->next;   //注意,不要漏了这一步
    }
    pTemp = NULL;   //防止野指针
    return pCur;
}

int main()
{
    int n, m;
    while(cin >> n >> m)
    {
        pNode head = Create(n);
        pNode pRes = Joseph_Circle(head, m);
        cout << "The result is : " << pRes->data << endl;
    }
    return 0;
}

链表实现Joseph_Circle(二)

约瑟夫环问题,给定一个输入链表,每跳出一个节点,把它加进另一个链表中,形成另一个环状单链表,如:
输入:
1   ->   2   ->   3   ->   4   ->    5
^                                           |
|____________________|


输出:
3   ->   1   ->   5   ->   2   ->  4
^                                          |
|___________________|


//代码及解析如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <climits>
#include <set>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <cassert>
#include <algorithm>
#define MAXN 10010
#define RST(N)memset(N, 0, sizeof(N))
using namespace std;

typedef int data_t;

typedef struct ListNode
{
    data_t data;
    struct ListNode *next;
}LNode, *pNode;

pNode Create(int n)
{
    pNode head = NULL;
    pNode p1 = NULL, p2 = NULL;
    p1 = p2 = (pNode)malloc(sizeof(LNode));
    int cnt = 1;
    while(cnt <= n)
    {
        p1->data = cnt++;   //别忘了++
        if(head == NULL)
            head = p1;
        else
            p2->next = p1;
        p2 = p1;
        p1 = (pNode)malloc(sizeof(LNode));
    }
    p2->next = head;
    return head;
}

pNode Joseph_Circle(pNode head1, int m)
{
    assert(head1 != NULL);
    pNode pCur = head1;    //当前节点
    pNode pNext = NULL;    //当前下一个节点
    pNode head2 = NULL;    //第二个链表
    pNode p1 = NULL;       //第二个链表添加新元素要用到
    int cnt = 1;
    while(pCur->next != pCur)
    {
        if(cnt == m)
        {
            pNext = pCur->next;
            swap(pCur->data, pNext->data);  //交换当前前后节点值
            pCur->next = pNext->next;   //第一个链表删除当前下一个节点
            if(head2 == NULL)      //第二个链表添加删除的节点
                head2 = pNext;
            else
                p1->next = pNext;
            p1 = pNext;
            cnt = 1;        //计数重置1
            continue;
        }
        cnt++;
        pCur = pCur->next;
    }
    p1->next = pCur;  //第一个链表最后一个元素添加进第二个链表
    pCur->next = head2;    //指向头
    return head2;
}

int main()
{
    int n, m;
    while(cin >> n >> m)
    {
        pNode head1 = Create(n);

        //test head1 begin     //测试head1
        pNode p = head1;
        cout << p->data << " ";
        for(p=p->next; p!=head1; p=p->next)
        {
            cout << p->data;
            if(p->next == head1) cout << endl;
            else cout << " ";
        }
        //test head1 end

        pNode head2 = Joseph_Circle(head1, m);

        //test head2 begin     //测试head2
        pNode q = head2;
        cout << q->data << " ";
        for(q=q->next; q!=head2; q=q->next)
        {
            cout << q->data;
            if(q->next == head2) cout << endl;
            else cout << " ";
        }
        //test head2 end

    }
    return 0;
}


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标签:joseph_circle

原文地址:http://blog.csdn.net/keshacookie/article/details/47303127

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