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伸展树(Splay Tree)树平衡二叉查找树的一种，具有二叉查找树的所有性质。在性能上又比普通的二叉查找树有所改进：普通的二叉查找树在最坏情况下的查找操作的时间复杂度为O(n)（当二叉树退化成一条链的时候），而伸展树在任何情况下的平摊时间复杂度均为 O(log2n).
- 和普通的二叉查找树相比，具有任何情况下、任何操作的平摊O(log2n)的复杂度，时间性能上更好
- 和一般的平衡二叉树比如 红黑树、AVL树相比，维护更少的节点额外信息，空间性能更优，同时编程复杂度更低
- 在很多情况下，对于查找操作，后面的查询和之前的查询有很大的相关性。这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置，这样下次查询操作可以很快的完成
- 可以完成对区间的查询、修改、删除等操作，可以实现线段树和树状数组的所有功能
伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后，都进行旋转操作 Splay(x, root)，该操作将节点x旋转到树的根部。
伸展树的旋转有六种类型，如果去掉镜像的重复，则为三种：zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。
这种方式需要每个节点存放其父节点的指
如图所示，x节点的父节点为y，x为y的左子节点，且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为y的父节点，就可以使x成为伸展树的根节点。
如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在一字型链上。此时，先对y节点和z节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zig旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。
如上图所示，x节点的父节点y，y的父节点z，三者在之字型链上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，然后再对x节点和y节点进行zag旋转，最后变为右图所示，x成为y和z的祖先节点。
这种方式不需要节点存储其父节点的指针。当我们沿着树向下搜索某个节点x时，将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。
(1) 当前节点x是中树的根
(2) 左树L保存小于x的节点
(3) 右树R保存大于x的节点
开始时候，x是树T的根，左树L和右树R都为空。三种旋转操作：
如图所示，x节点的子节点y就是我们要找的节点，则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作)，使之成为x的父节点，就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根，同时，x节点移动到右树R中，显然右树上的节点都大于所要查找的节点。
如上图所示，x节点的左子节点y，y的左子节点z，三者在一字型链上，且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时，对x节点和y节点进行zig，然后对z和y进行zig，使z成为中树的根，同时将y及其子树挂载到右树R上。
如上图所示，x节点的左子节点y，y的右子节点z，三者在之字型链上，且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时，先对x节点和y节点进行zig旋转，将x及其右子树挂载到右树R上，此时y成为中树的根节点；然后再对z节点和y节点进行zag旋转，使得z成为中树的根节点。
最后，找到节点或者遇到空节点之后，需要对左、中、右树进行合并。如图所示，将左树挂载到中树的最左下方（满足遍历顺序要求），将右树挂载到中树的最右下方（满足遍历顺序要求）。
利用Splay操作，可以在伸展树上进行如下操作：
(1) Find(x, S) 判断x是否在伸展树S表示的有序集中
首先按照普通的二叉查找树查找算法进行查找，如果找到元素x，则执行Splay(x, S)操作将x旋转到树根的位置。
(2) Insert(x, S) 将元素x插入到树中
首先按照普通的二叉查找树插入算法进行插入，然后执行Splay(x, S)
(3) Delete(x, S) 将元素x从伸展树S所表示的有序集中删除
首先按照普通的二叉查找树查找算法找到x的位置。如果x没有孩子或只有一个孩子，则直接将x删除，并通过Splay操作，将x节点的父节点调整到伸展树的根节点处。否则，向下查找x的后继节点y，用y替代x的位置，然后执行Splay(y, S)，将y调整为伸展树的根
(4) Join(S1, S2) 将两个伸展树S1, S2合并为一个伸展树。其中S1的所有元素小于S2中的所有元素。 
首先按照普通的二叉查找树查找算法找到S1中最大元素x，然后执行Splay(x, S1)将x旋转到S1的根部，此时S1中的所有元素必然在x的左子树上，x的右子树为空，则可以将S2挂载到x的右子树位置。
(5) Split(x, S) 以x为界，将伸展树S分离为两棵伸展树S1和S2，其中S1中所有元素都小于x，S2中所有元素都大于x。 
首先执行Find(x, S)，将元素x调整为伸展树的根节点，则x的左子树就是S1，右子树就是S2.
struct TreeNode{ int data; TreeNode* left; TreeNode* right; TreeNode* parent; TreeNode(int d) : data(d), left(NULL), right(NULL), parent(NULL){}; }; TreeNode* gTreeRoot; void Rotate(TreeNode* x, bool left_rotate){ //旋转x节点（将x节点 按照 left_rotate 指示 绕着其父节点y 进行左旋或者右旋 TreeNode* y = x->parent; if (y == NULL){ return; } if (left_rotate){ y->right = x->left; if (!x->left){ x->left->parent = y; } } else{ y->left = x->right; if (!x->right){ x->right->parent = y; } } x->parent = y->parent; if (!y->parent){ if (y == y->parent->left){ y->parent->left = x; } else{ y->parent->right = x; } } if (y == gTreeRoot){ //全局的根节点 gTreeRoot = x; } } //将节点x通过不断的Rotate操作，直到x成为f的子节点 void Splay(TreeNode* x, TreeNode* f){ TreeNode* y = x->parent, *z = NULL; while (y != f){ z = y->parent; if (z == f){ Rotate(x, x == y->right); } else{ if (!(x == y->left ^ y == z->left)){ //一字型 旋转 zig-zig Rotate(y, y == z->right); Rotate(x, x == y->right); } else{ //之字型旋转 zig-zag Rotate(x, x == y->right); //注意，上一步的rotate操作，x的地址没有发生改变，但是x地址指向的结构体中的各个域被修改为经过旋转之后的结构 //所有，这里直接使用x即可 Rotate(x, x == z->right); } } } }
2 自顶向下的方式旋转
struct TreeNode{ int data; TreeNode* left; TreeNode* right; TreeNode(int d = 0) : data(d), left(NULL), right(NULL){}; }; TreeNode* Splay(int i, TreeNode* t){ TreeNode N, *l, *r, *y; // l, t, r 分别为左树、中树、右树 if (t == NULL){ return; } l = r = &N; while (true){ if (i < t->data){ if (t->left == NULL){ //碰到空节点，结束 break; } if (i < t->left->data){ //需要进行右旋 y = t->left; t->left = y->right; y->right = t; t = y; if (t->left == NULL){ break; } } r->left = t; //挂载到右树，最小的位置 r = t; t = t->left; //将 z 升为中树的根节点 } else if (i > t->data){ if (t->right == NULL){ break; } if (i > t->right->data){ //需要进行左旋 y = t->right; t->right = y->left; y->left = t; } l->right = t; //挂载到左树，最大的位置 l = t; t = t->right; //将z升为中树的根节点 } else{ break; } } l->right = t->left; //将左、中、右树进行合并 r->left = t->right; t->left = N.right; t->right = N.left; return t; }
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原文地址：http://www.cnblogs.com/gtarcoder/p/4706088.html
