URAL 1907. Coffee and Buns（数论推导+容斥原理）

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大致题意：

输入 a n 判断 从 b = 1 ~ n 中 满足 gcd( ( a * a + b * b ) , 4 * a + 4 * b ) > 1 的个数。

a < 1e12 , n < 1e18

若 a b 奇偶性相同，显然满足。gcd是2的倍数。 

若a b  奇偶性不同，

开始推导：

因为 a * a + b * b 是奇数，

所以

gcd( a * a + b * b , 4 * a + 4 * b ) > 1 等价于

gcd( a * a + b * b , a + b ) > 1 等价于

根据整除性质，若存在 e > 1 ，满足 e | ( a + b ) ， 那么 e | ( a + b ) ^ 2 反之亦然

则等价于

gcd( a * a + b * b , a * a + b * b + 2 * a * b ) > 1 等价于

gcd( 2 * a * a + 2 * b * b , a * a + b * b + 2 * a * b ) > 1等价于

gcd( a * a + b * b - 2 * a * b , a * a + b * b + 2 * a * b ) > 1 等价于

gcd( a - b , a + b ) > 1 等价于

gcd( 2 * a , a + b ) > 1

因为 a+b是奇数

等价于

gcd( a , a +b ) > 1等价于

gcd( a , b ) > 1

推导结束

下面对a分解质因数，找出n个数中不同奇偶性且满足gcd( a , b ) > 1的个数

最后加上 相同奇偶性的 个数 就是答案。

所以要求1~maxn中与a，gcd > 1 的个数，就是求1~maxn与某一个num不互素的个数，要用到容斥原理：

ll no_coprime(ll num,ll MAXN){//1~maxn与num不互素的个数
        ll ans = 0;
        vector<ll> fac;
        for(ll i = 2; i*i <= num; i++){ //分解因数
                if( num % i == 0){
                        fac.push_back(i);
                        while(num%i == 0) num /= i;
                }
        }
        if(num != 1) fac.push_back(num);
        int sz = SZ(fac);
        for(ll mask = 1 ; mask < (1LL<<sz); mask++){ //容斥过程，复杂度2^因数个数
                ll c = 0;
                ll tmp = 1;
                rep(i,sz) if( (1LL<<i)&mask){
                        c++;
                        tmp *= fac[i];
                }
                if(c&1) ans += MAXN/tmp;
                else ans -= MAXN/tmp;
        }
        return ans;
}

ac代码：

//Accepted 412	15 G++ 4.9 C++11 2092
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <bitset>
#include <algorithm>
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define ALL(v) (v).begin(), (v).end()
#define foreach(i, v) for (__typeof((v).begin()) i = (v).begin(); i != (v).end(); ++ i)
#define reveach(i, v) for (__typeof((v).rbegin()) i = (v).rbegin(); i != (v).rend(); ++ i)
#define REP(i,n) for ( int i=1; i<=int(n); i++ )
#define rep(i,n) for ( int i=0; i<int(n); i++ )
using namespace std;
typedef long long ll;
#define X first
#define Y second
typedef pair<ll,ll> pii;

template <class T>
inline bool RD(T &ret) {
	char c; int sgn;
	if (c = getchar(), c == EOF) return 0;
	while (c != '-' && (c<'0' || c>'9')) c = getchar();
	sgn = (c == '-') ? -1 : 1;
	ret = (c == '-') ? 0 : (c - '0');
	while (c = getchar(), c >= '0'&&c <= '9') ret = ret * 10 + (c - '0');
	ret *= sgn;
	return 1;
}
template <class T>
inline void PT(T x) {
	if (x < 0) {
		putchar('-');

		x = -x;
	}
	if (x > 9) pt(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

ll a,n;

ll no_coprime(ll num,ll MAXN){
        ll ans = 0;
        vector<ll> fac;
        for(ll i = 2; i*i <= num; i++){ //分解因数
                if( num % i == 0){
                        fac.push_back(i);
                        while(num%i == 0) num /= i;
                }
        }
        if(num != 1) fac.push_back(num);
        int sz = SZ(fac);
        for(ll mask = 1 ; mask < (1LL<<sz); mask++){ //容斥过程，复杂度2^因数个数
                ll c = 0;
                ll tmp = 1;
                rep(i,sz) if( (1LL<<i)&mask){
                        c++;
                        tmp *= fac[i];
                }
                if(c&1) ans += MAXN/tmp;
                else ans -= MAXN/tmp;
        }
        return ans;
}

int main(){

        while(cin>>a>>n){
                ll ans = 0;
                if(a&1) ans += (n+1)/2, n /= 2;
                ans += no_coprime(a,n);
                printf("%lld\n",ans);
        }
}

URAL 1907. Coffee and Buns（数论推导+容斥原理）

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原文地址：http://blog.csdn.net/kalilili/article/details/47306257