hdu4430_Yukari's Birthday(数学放缩+二分)

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作者：tt2767
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题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4430

题解：
本题根据蛋糕中心放不放蜡烛可以转化为 $k^ 1 + k^2 + ……+k^r = n 或 n-1$

已知：等比数列求和公式$n = \dfrac{k(k^r-1)}{k-1}$

我们知道18 ≤ n ≤ 1012 由此可以求出来r最大是45

由于r是有限d，所以我们可以枚举r，然后从结果中二分查找k的值。

如果把r当作已知量，对于k来说，可以用$n = \dfrac{k(k^r-1)}{k-1}$来求出k，但这样求解比较麻烦，我们知道$n = \dfrac{k(k^r-1)}{k-1} \geq \dfrac{k-1}{k-1}(k^r-1)$此时$k\leq(n+1)^\frac1r$。

故在$2 \leq k \leq (n+1)^\frac1r$，查找k的值即可。

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#include<iostream>
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#include<cstdio>
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#include<cstring>
#include<cmath>
#include <iterator>
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#include <stack>
#include<queue>
#include <list>
#include<functional>
#include<numeric>
using namespace std;
#define lch(x)  ((x) << 1)
#define rch(x) ((x)<<1|1)
#define dad(x) ((x)>>1)
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
typedef  long long int LL;
const int INF = 0x5f5f5f5f ;
const double eps = 1e-6;
const long double PI = acos(0.0) * 2.0;
LL R,K,n;
LL Power(LL x, LL y);
void judge(LL r,LL k,LL& R,LL& K );

int main()
{
    while(scanf("%lld",&n)==1)
    {
        K = n-1,R = 1;
        for(int r = 2 ; r <= 45 ; r++)      //枚举r
        {                           //k的右边界由等比数列缩放而来
            LL left = 2 , right = (LL)pow(n+1,1.0/r);
            while(left <= right)
            {
                LL mid  = (left+right)>>1;      //二分查找k

                LL ans = mid*(Power(mid,r)-1)/(mid-1);//等比数列求和计算结果

                if(ans == n || ans == n-1)//符合中心放或者不放蜡烛的时候
                {
                    judge(r,mid,R,K);   //更新R,K的值
                    break;
                }
                else if(ans > n )
                    right = mid - 1;
                else
                    left = mid + 1;
            }
        }
        printf("%lld %lld\n",R,K);
    }
    return 0;
}

LL Power(LL x, LL y)
{
    LL res = 1;
    for(LL i = 0 ; i < y ; i++)
        res *= x;
    return res;
}

void judge(LL r,LL k,LL& R,LL& K )
{
    if(r*k < R*K)
    {
        R = r;
        K = k;
    }
    else if(r*k == R*K  && r < R)
    {
        R = r;
        K = k;
    }
}