最长公共子序列LCS

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定义：

　　　子序列：原序列的一部分，要求按原序列中的顺序出现，但不要求连续

问题描述：

　　　　给定两个序列X=<x₁,x₂,...,x_m>和Y=<y₁,y₂,...,y_n>,找出X和Y的最大长度公共子序列

求解：

步骤一：最优子结构（描述一个最长公共子序列LCS）

        定义：X_i=<x₁,x₂,...,x_i>，Y_i=<y₁,y₂,...,y_i>

       假设Z=<z₁,z₂,...,z_k>为X和Y的一个LCS,则有：

      1）如果x_m=y_n，那么z_k=x_m=y_n，而且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的一个LCS

      2）如果x_m!=y_n，那么如果z_k!=x_m，则Z是X_m-1和Y_n的一个LCS

                                     如果z_k!=y_n，则Z是X和Y_n-1的一个LCS

步骤二：构造递归解

     定义：

           c[i,j]为序列X_i和Y_i的一个LCS的长度

     公式：

            c[i,j]=0                               if i=0 or j =0  

            c[i,j]=c[i-1,j-1]+1                if i,j>0 and x_i=y_j

            c[i,j]=max(c[i-1,j],c[i,j-1])    if i,j>0 and x_i!=y_j

步骤三：明确重叠的子问题以及真正子问题的数目

           计算c[i-1,j]和c[i,j-1]都会计算c[i-1,j-1]

           由递归解的形式可以直接看出，子问题的数目是Θ(mn)

步骤四：算法设计

代码如下：

int calCLS(string s1,string s2)
{
    string::size_type m=s1.size()+1;
    string::size_type n=s2.size()+1;
    int i,j;
    int **c=new int*[m];
    for(i=0;i<m;i++)
        c[i]=new int[n];
    for(i=1;i<m;i++)
        c[i][0]=0;
    for(j=0;j<n;j++)
        c[0][j]=0;
    for(i=1;i<m;i++)
    {
        for(j=1;j<n;j++)
            if(s1[i]==s2[j])
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            else
                if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
                    c[i][j]=c[i-1][j];
                else
                    c[i][j]=c[i][j-1];
    }
    return c[m-1][n-1];
}

最长公共子序列LCS

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原文地址：http://www.cnblogs.com/xiangzhi/p/4711781.html