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第一章 实数
§1.实数集合及其有序化
1.前言
2.无理数定义
考虑把全部有理数的集合分成两个非空的集合${A}$与${A}‘$;
即有:1.每一个有理数在且只在${A}$与${A}‘$两个集合的一个中;
2.集合${A}$中每一数$a$小于集合${A}‘$中每一个数${a}‘$.
则称这种方法为分割.
集合${A}$叫做分割的下类,集合${A}‘$叫做上类.
分割用$A\mid {A}‘$表示.
仅存在三类分割:
1)在下类${A}$中没有最大的数,在上类${A}‘$中有最小的数;
2)在下类${A}$中有最大的数,在上类${A}‘$中没有最小的数;
3)在下类${A}$中没有最大的数,在上类${A}‘$中没有最小的数.
前两种情况下,分割由有理数${r}$产生(${r}$是${A}$与${A}‘$两类中间的界数),或者说,这分割定义了有理数${r}$.
第三种情形下,界数不存在,规定:任何属于类型3)的分割定义了某一个无理数$\alpha$.
提到定义有理数${r}$的分割时,总把这个数归入上类.
有理数和无理数统称为实数.
3.实数集合有序化
由两个分割$A\mid {A}‘$与$B\mid {B}‘$分别所定义的两无理数$\alpha$与$\beta$,当且仅当这两个分割相同时才算是相等.
相等$\Leftrightarrow$分割相同.
$\alpha > \beta $,只要${A}$类完全包含${B}$类且不与${B}$类相同.
当且仅当$\beta > \alpha $的情形下我们说$\alpha < \beta $.
由任何两个实数$\alpha$与$\beta$之间必有而且只有下列三种关系之一:
4.实数的无尽十进小数的表示法
5.实数集合的连续性
6.数集合的界
§2.实数的四则运算
7.实数的和的定义及其性质
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原文地址：http://www.cnblogs.com/ricardod/p/4712236.html
