取石子游戏（hdu2516+FIB博弈）

标签：取石子游戏   hdu2516   fib博弈   数论   

2
13
10000
0 

Second win
Second win
First win 

、

又是取石子游戏，不过这次的和之前的可不一样了。好像是FIB博弈（感觉数学的的定理公式怎么就这么多呢。。。。无奈）

转载于：http://yjq24.blogbus.com/logs/46150651.html

有一堆个数为n的石子，游戏双方轮流取石子，满足：

1)先手不能在第一次把所有的石子取完；

2)之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。

约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点，就是游戏规则的动态化。之前的规则中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是这次有规则2：一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。

这个游戏叫做Fibonacci Nim，肯定和Fibonacci数列：f[n]：1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… 有密切的关系。如果试验一番之后，可以猜测：先手胜当且仅当n不是Fibonacci数。换句话说，必败态构成Fibonacci数列。

就像“Wythoff博弈”需要“Beatty定理”来帮忙一样，这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。定理的证明可以在 这里 看到，不过我觉得更重要的是自己动手分解一下。

比如，我们要分解83，注意到83被夹在55和89之间，于是把83可以写成83=55+28；然后再想办法分解28，28被夹在21和34之间，于是28=21+7；依此类推 7=5+2，故 ；

如果n=83，我们看看这个分解有什么指导意义：假如先手取2颗，那么后手无法取5颗或更多，而5是一个Fibonacci数，如果猜测正确的话，（面临这5颗的先手实际上是整个游戏的后手）那么一定是先手取走这5颗石子中的最后一颗，而这个我们可以通过第二类归纳法来绕过，同样的道理，接下去先手取走接下来的后21颗中的最后一颗，再取走后55颗中的最后一颗，那么先手赢。

反过来如果n是Fibonacci数，比如n=89：记先手一开始所取的石子数为y，若y>=34颗（也就是89的向前两项），那么一定后手赢，因为89-34=55=34+21<2*34，所以只需要考虑先手第一次取得石子数y<34的情况即可，所以现在剩下的石子数x介于55到89之间，它一定不是一个Fibonacci数，于是我们把x分解成Fibonacci数：x=55+f[i]+…+f[j]，若，如果f[j]<=2y，那么对B就是面临x局面的先手，所以根据之前的分析，B只要先取f[j]个即可，以后再按之前的分析就可保证必胜。

下证：f[j]<=2y

反证法：假设f[j]>2y，则 y < f[j]/2 = (f[j-1] + f[j-2])/2 < f[j-1]

而最初的石子数是个斐波那契数，即 f[k]=x+y < f[k-1]+f[i]+…+f[j]+f[j-1] <= f[k-1]+f[i]+f[i-1] <= f[k-1]+f[k-2] <= f[k] （注意第一个不等号是严格的，矛盾！）

ps：这个博弈还是第一次见，不过我觉得做博弈，重要的是能根据已知情况，猜测出未知的情况，这就是规律！

转载请注明出处：寻找&星空の孩子

//FIB博弈，找规律
//定理证明：http://yjq24.blogbus.com/logs/46150651.html

#include<stdio.h>
#define LL long long
#define MM 0x7FFFFFFF
LL len,Fib[100000];
void init()
{
    len=3;
    Fib[1]=1;
    Fib[2]=2;
    for(;;len++)
    {
        Fib[len]=Fib[len-1]+Fib[len-2];
        if(Fib[len]>(1LL<<31)) break;
    }
}
int main()
{
    init();
    LL n;
 //   printf("len=%lld,%lld\n",len,Fib[46]);
    while(scanf("%lld",&n),n)
    {
        if(n==3||n==2) { printf("Second win\n");continue;}
        LL t=3;
        bool bo=true;
        while(t<=len)
        {
            if(n==Fib[t]){bo=false;printf("Second win\n");break;}
            if(Fib[t]>n) break;
            t++;
        }
        if(bo) printf("First win\n");
    }
    return 0;
}

取石子游戏（hdu2516+FIB博弈）

标签：取石子游戏   hdu2516   fib博弈   数论   

原文地址：http://blog.csdn.net/u010579068/article/details/47356347