图像去模糊（约束最小二乘方滤波）

引言

这是图像去模糊的第三篇，接着上节说道逆滤波对噪声特别敏感。约束最小二乘方滤波（Constrained Least Squares Filtering，aka Tikhonov filtration,Tikhonov regularization）核心是H对噪声的敏感性问题。减少噪声敏感新问题的一种方法是以平滑度量的最佳复原为基础的，因此我们可以建立下列约束条件：

$$C = \sum\limits_0^{M - 1} {\sum\limits_0^{N - 1} {{{[{\nabla ^2}f(x,y)]}^2}} }$$
其约束条件为
$$||G - H\hat F|{|^2} = ||N |{|^2}$$
这里，$\hat F$是为退化图像的估计，拉普拉斯算子$\nabla ^2$在这里表示平滑程度。

推导

如何求解这个式子呢，将上式表示成矩阵形式，同时将约束项转换成拉格朗日乘子项，可得到

$$||P \hat F||_2^2 - \lambda (||G - H \hat F||_2^2 - ||N||_2^2)$$
最小化上代价函数，对$\hat F$求导，令等零。
$${P^ * }P \hat F = \lambda {H^ * }(G - H \hat F)$$
最后可得到，下列式子
$$\hat F = \frac{{\lambda {H^ * }G}}{{\lambda {H^ * }H + {P^ * }P}} = \left[ {\frac{{{H^H}}}{{||H||_2^2 + \gamma ||P||_2^2}}} \right]G$$
这里，$P$是函数
$$p = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}&0\{ - 1}&4&{ - 1}\0&{ - 1}&0 \end{array}} \right]$$
的傅里叶变换。其实这就是那个拉普拉斯模板嘛。
嗯，和书上的公式一模一样，这就证明我们求解对了。
好了，我又可以重新造轮子了。

代码

close all;
clear all;
clc;
% Display the original image.
I = im2double(imread(‘lena.jpg‘));
[hei,wid,~] = size(I);
subplot(2,3,1),imshow(I);
title(‘Original Image (courtesy of MIT)‘);


% Simulate a motion blur.
LEN = 21;
THETA = 11;
PSF = fspecial(‘motion‘, LEN, THETA);
blurred = imfilter(I, PSF, ‘conv‘, ‘circular‘);
subplot(2,3,2), imshow(blurred); title(‘Blurred Image‘);

% Inverse filter
If = fft2(blurred);
Pf = psf2otf(PSF,[hei,wid]);
deblurred = ifft2(If./Pf);
subplot(2,3,3), imshow(deblurred); title(‘Restore Image‘)

% Simulate additive noise.
noise_mean = 0;
noise_var = 0.00001;
blurred_noisy = imnoise(blurred, ‘gaussian‘, ...
                        noise_mean, noise_var);
subplot(2,3,4), imshow(blurred_noisy)
title(‘Simulate Blur and Noise‘)

% Try restoration using  Home Made Constrained Least Squares Filtering.
p = [0 -1 0;-1 4 -1;0 -1 0];
P = psf2otf(p,[hei,wid]);

gama = 0.001;
If = fft2(blurred_noisy);

numerator = conj(Pf);
denominator = Pf.^2 + gama*(P.^2);

deblurred2 = ifft2( numerator.*If./ denominator );
subplot(2,3,5), imshow(deblurred2)
title(‘Restoration of Blurred Using Constrained Least Squares Filtering‘);

subplot(2,3,6); imshow(deconvreg(blurred_noisy, PSF,0)); title(‘Regul in Matlab‘);

依次是原图，运动模糊图像，逆滤波结果，运动模糊+高斯噪声，Home Made 约束最小二乘方滤波（$\lambda =0.001，交互设置$），Matlab自带的去模糊deconvreg函数。

效果

嗯，可以看出我们做出来的约束最小二乘方滤波效果非常不错的（多亏我调的一手好参）。这里的$\lambda$是我自己手工设置的，也是多次尝试，以产生最好的视觉效果。我个人建议$\lambda$设置成0.001左右会有比较好的效果。一般的说法是，约束最小二乘方滤波对高噪声和中等噪声产生结果要好于维纳滤波，对于低噪声两种滤波产生结果基本相等。手工选取参数时效果会更好一些。
其实$\lambda$可以迭代最优化，Matlab自带的函数deconvreg即是如此，这样可以实现最佳复原算法，听起来不错。
我有时间再写，呼，先休息一下。

更多阅读

RESTORATION OF DEFOCUSED AND BLURRED IMAGES http://yuzhikov.com/articles/BlurredImagesRestoration1.htm
图像去模糊 （维纳滤波）http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355
图像去模糊（逆滤波）http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/47357717
数字图像处理（第三版） 冈萨雷斯著 chapter 5，图像复原与重建

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作者	日期	联系方式
风吹夏天	2015年8月8日	wincoder@qq.com