连通性2 无向图的割边 (cut edge)

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这是DFS系列的第二篇

割边的概念

In graph theory, a bridge, isthmus, cut-edge, or cut arc is an edgeof a graph whose deletion increases its number of connected components. Equivalently, an edge is a bridge if and only if it is not contained in any cycle. A graph is said to be bridgeless or isthmus-free if it contains no bridges.

割边 （cut edge）也称作桥（bridge）是删除后能使图的连通分量增加的边。

下面我们只考虑无向图。

考虑一个连通的无向图G，若它含有某条割边e(u, v)，那么去掉这条边后，将得到2个连通图G‘, H‘，而不可能得到2个以上连通图，因为一条边最多能将2个连通图合为一个联通图。

下面介绍求无向图所有割边的Taryan算法（Taryan‘s Bridge-Finding Algorithm）

我们只考虑对无向连通图G求割边，若图G不连通那么就对G的各个连通分量求割边。

我们知道DFS一个无向图将其所有边分成两类，树边（tree edge）与回边（back edge）。显然地，割边只能是树边而绝不可能是回边。

考虑一条树边(u-->v)是割边的条件。这条件应当是在DFS树中，以v为根的子树（简称子树v）中的所有节点都没有连向u的祖先节点（包括u本身）的回边，也就是说子树v仅仅靠着边 (u,v) 和其他节点保持连通。

为了判断上述条件，我们在DFS过程中记录每个节点的dfn值与low值，树边 (u-->v)是割边的充要条件是 low[v]>dfn[u]。

struct edge{
	int to, nt;
	bool flag;
}E[MAX_E<<1];
int head[MAX_V];

int dfn[MAX_V], low[MAX_V];
int ts;	//time stamp
void dfs(int u, int f){
	dfs[u]=low[u]=++ts;
	for(int i=head[i]; ~i; i=E[i].nt){
		int &v=E[i].to;
		if(!dfn[v]){	//tree edge
			dfs(v, f);
			low[u]=min(low[u], low[v]);
			if(low[v]>dfn[u]){
				e[i].flag=e[i^1].flag=true;
			}
		}
		else if(v!=f&&dfn[v]<dfn[u]){	//back edge
			low[u]=min(low[u], dfn[v]);
		}
	}
}

void solve(int N){
	memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
	ts=0;
	for(int i=1; i<=N; i++)
		if(!dfn[i]) dfs(i, i);
}

连通性2 无向图的割边 (cut edge)

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Patt/p/4713459.html