32 - 从 1 到 n 整数中 1 出现的次数

问题：
给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有“1”的个数。
例如：
N= 2，写下1，2。这样只出现了1个“1”。
N= 12，我们会写下1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12。这样，1的个数是5。

直观思路是，逐个计算出1 ~ N 这 N 个数含有 1 的个数。
如 1 ~ 12345 ：判断最后 1 位是否为 1，然后每一次右移一位，重复上述步骤。
判断 1 个数的复杂度$O(log{N})$，总时间复杂度$O(N*log{N})$

改进思路：能否直接计算出给定 1 ~ N 的 1 出现次数：
如 12，个位出现 1 的次数为2，十位出现 1 的次数是 3，则总次数为 5
如 23，个位出现 1 的次数为 3 （1,11,21），十位出现 1 的次数为 10 （11,12,…,19），则总次数为 13
即只要求出每一位可能出现 1 的次数，则能够求出 1 ~ n 出现 1 的次数。

我们通过逐位判断的方式，以百位数字为例：

• 如果百位数字是 0 则百位出现 1 的次数，只由更高位决定：
  如 12045：百位是 1 的次数
  100~199
  1100~1199
  2100~2199
  。。。
  11,100~11,199
  每一行含有 100 个，共 12 行；故百位出现 1 的次数 更高位数字(12) * 当前位数(100)

• 如果百位数字是 1 则百位出现 1 的次数，不仅由更高位决定，还和当前位的低位有关
  如 12145：百位是 1 的次数，除了上述高位决定的 12*100 次
  低位部分 12,100 ~ 12,145 百位出现 1 的次数等于低位数字(45) + 1

• 如果百位数字大于 1 (2~9)，则百位出现 1 的次数，只由更高位决定
  12345 : 百位是 1 的次数
  100~199
  1100~1199
  2100~2199
  。。。
  11,100~11,199
  12,100~12,199
  每一行含有 100 个，共 13 行；故百位出现 1 的次数 更高位数字加一(12+1) * 当前位数(100)

上述算法的时间复杂度：$O(logL)$，L 为 n 的10进制的位数

#include <iostream>
using namespace std;
int Counts1OfN(int n) {
    int counts = 0;
    int base = 1;
    int low = 0; //低位数字
    int cur = 0; //当前位
    int high = 0; //高位数字
    while (n/base > 0) {
        //如12345：base = 100, cur = 3, low = 45, hight 12
        low = n % base;
        cur = (n / base) % 10;
        high = n / (base*10);
        switch(cur) {
            case 0:
                counts += high*base;
                break;
            case 1:
                counts += high*base + (low+1);
                break;
            default:
                counts += (high+1)*base;
        }
        base *= 10;
    }
    return counts;
}

int main()
{
    int nums[] = {4,13,33,103,113,123,9999,33342124};
    for (int i = 0; i < sizeof(nums)/sizeof(nums[0]); i++) {
        cout << "0 ~ " << nums[i] << " 包含 1 的个数：" << Counts1OfN(nums[i]) << endl;
    }
}

结果：

1 ~ 4 包含 1 的个数：1
1 ~ 13 包含 1 的个数：6
1 ~ 23 包含 1 的个数：13
1 ~ 33 包含 1 的个数：14
1 ~ 103 包含 1 的个数：25
1 ~ 113 包含 1 的个数：40
1 ~ 123 包含 1 的个数：57
1 ~ 9999 包含 1 的个数：4000
1 ~ 33342124 包含 1 的个数：34077658

参考：《编程之美》