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[HNOI2014][BZOJ3572] 世界树|虚树|树上倍增LCA|树型dp|dfs序

时间:2015-08-09 13:53:26      阅读:397      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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3572: [Hnoi2014]世界树

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 512 MB
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Description

 世界树是一棵无比巨大的树,它伸出的枝干构成了整个世界。在这里,生存着各种各样的种族和生灵,他们共同信奉着绝对公正公平的女神艾莉森,在他们的信条里,公平是使世界树能够生生不息、持续运转的根本基石。
    世界树的形态可以用一个数学模型来描述:世界树中有n个种族,种族的编号分别从1到n,分别生活在编号为1到n的聚居地上,种族的编号与其聚居地的编号相同。有的聚居地之间有双向的道路相连,道路的长度为1。保证连接的方式会形成一棵树结构,即所有的聚居地之间可以互相到达,并且不会出现环。定义两个聚居地之间的距离为连接他们的道路的长度;例如,若聚居地a和b之间有道路,b和c之间有道路,因为每条道路长度为1而且又不可能出现环,所卧a与c之间的距离为2。
    出于对公平的考虑,第i年,世界树的国王需要授权m[i]个种族的聚居地为临时议事处。对于某个种族x(x为种族的编号),如果距离该种族最近的临时议事处为y(y为议事处所在聚居地的编号),则种族x将接受y议事处的管辖(如果有多个临时议事处到该聚居地的距离一样,则y为其中编号最小的临时议事处)。
    现在国王想知道,在q年的时间里,每一年完成授权后,当年每个临时议事处将会管理多少个种族(议事处所在的聚居地也将接受该议事处管理)。 现在这个任务交给了以智慧著称的灵长类的你:程序猿。请帮国王完成这个任务吧。

Input

    
    第一行为一个正整数n,表示世界树中种族的个数。
    接下来n-l行,每行两个正整数x,y,表示x聚居地与y聚居地之间有一条长度为1的双
向道路。接下来一行为一个正整数q,表示国王询问的年数。
    接下来q块,每块两行:
    第i块的第一行为1个正整数m[i],表示第i年授权的临时议事处的个数。
    第i块的第二行为m[i]个正整数h[l]、h[2]、…、h[m[i]],表示被授权为临时议事处的聚居地编号(保证互不相同)。

Output

    输出包含q行,第i行为m[i]个整数,该行的第j(j=1,2…,,m[i])个数表示第i年被授权的聚居地h[j]的临时议事处管理的种族个数。

Sample Input

10
2 1
3 2
4 3
5 4
6 1
7 3
8 3
9 4
10 1
5
2
6 1
5
2 7 3 6 9
1
8
4
8 7 10 3
5
2 9 3 5 8

Sample Output


1 9
3 1 4 1 1
1 0
1 1 3 5
4 1 3 1 1

HINT

 

N<=300000, q<=300000,m[1]+m[2]+…+m[q]<=300000

 

Source

 

八中的样例连个空格都没有……

整整搞了一晚上,终于懂了什么叫虚树。

虚树,网上没有什么教程,给的比较“教条”的定义也看不太懂(至少我看不懂),其实就是每次将关键点按照dfs序排序,然后把各关键点及相邻点的LCA都加入到一棵新树中,这棵树即为虚树。

算法步骤:

S1: 在原树上进行一次dfs,维护fa数组(倍增LCA预处理),记录树的dfs序,节点的深度,和以该节点为根的子树的大小。

S2: 对于每次询问,我们将读入的关键点按照dfs序排序,然后把各关键点及相邻点的LCA加入新树,即虚树。

S3: 建出虚树后,我们在虚树上进行两次dp,第一次用子节点更新父节点,第二次用父节点再更新子节点,两遍dp即可计算出虚树中的点属于的议事处。

S4: 自顶向下处理每个点和各个子节点,找出该链上点属于的议事处(通过距离判断)。

S5: 统计答案,输出,将数组初始化,进行下一次询问。

 

各数组:

a[]:读入关键点并按照dfs序排序。

b[]:记录a数组,答案顺序。

f[]:记录以i为议事处的点数,即答案。

s[]:栈,建虚树时用。

c[]:记录虚树中的点。

rem[]:虚树中某点为结点的子树中,除去也在虚树中的子节点与其构成的链的点数,剩余的节点数。

bel[]:改点所属的议事处。

deep[]:原树中某点的深度。

id[]:原树各点的dfs序。

size[]:原树各点为根的子树大小。

f[][20]:求lca数组。

head,next,list:数组模拟链表。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#define N 300005
using namespace std;
int n,m,q,cnt,dfn,top;
int fa[N][21];
int a[N],b[N],f[N],s[N],c[N],rem[N],bel[N],deep[N],head[N],id[N],size[N];
int next[2*N],list[2*N];
inline int read()
{
    int a=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<0||c>9) {if (c==-) f=-1; c=getchar();}
    while (c>=0&&c<=9) {a=a*10+c-0; c=getchar();}
    return a*f;
}
inline bool cmp(int a,int b)
{
    return id[a]<id[b];
}
inline void insert(int x,int y)
{
    next[++cnt]=head[x]; 
    head[x]=cnt;
    list[cnt]=y;
}
void dfs(int x,int f) //预处理
{
    id[x]=++dfn; size[x]=1;
    for (int i=1;(1<<i)<=deep[x];i++) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
    for (int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        if (list[i]==f) continue;
        fa[list[i]][0]=x;
        deep[list[i]]=deep[x]+1;
        dfs(list[i],x);
        size[x]+=size[list[i]];
    }
}
inline int lca(int x,int y)
{
    if (deep[x]>deep[y]) swap(x,y);
    int t=deep[y]-deep[x];
    for (int i=0;(1<<i)<=t;i++)
        if ((1<<i)&t) y=fa[y][i];
    for (int i=18;i>=0;i--)
        if (fa[x][i]!=fa[y][i]) {x=fa[x][i]; y=fa[y][i];}
    return x==y?x:fa[x][0];
}
inline int dis(int a,int b)
{
    return deep[a]+deep[b]-2*deep[lca(a,b)];
}
void dfs1(int x)
{
    c[++dfn]=x; rem[x]=size[x];
    for (int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        dfs1(list[i]);
        if (!bel[list[i]]) continue;
        int t1=dis(bel[list[i]],x),t2=dis(bel[x],x);
        if ((t1==t2&&bel[list[i]]<bel[x])||t1<t2||!bel[x]) bel[x]=bel[list[i]];
    }
}
void dfs2(int x)
{
    for (int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        int t1=dis(bel[x],list[i]),t2=dis(list[i],bel[list[i]]);
        if ((t1==t2&&bel[list[i]]>bel[x])||t1<t2||!bel[list[i]]) bel[list[i]]=bel[x];
        dfs2(list[i]);
    }
}
void solve(int a,int b)
{
    int x=b,mid=b;
    for (int i=18;i>=0;i--)
        if (deep[fa[x][i]]>deep[a]) x=fa[x][i];
    rem[a]-=size[x];
    if (bel[a]==bel[b]) 
    {
        f[bel[a]]+=size[x]-size[b];
        return;
    }
    for (int i=18;i>=0;i--)
    {
        int nxt=fa[mid][i];
        if (deep[nxt]<=deep[a]) continue;
        int t1=dis(bel[a],nxt),t2=dis(nxt,bel[b]);
        if (t1>t2||(t1==t2&&bel[b]<bel[a])) mid=nxt;
    }
    f[bel[a]]+=size[x]-size[mid];
    f[bel[b]]+=size[mid]-size[b];
}
inline void query()
{
    top=dfn=cnt=0;
    m=read();
    for (int i=1;i<=m;i++) a[i]=b[i]=read();
    for (int i=1;i<=m;i++) bel[a[i]]=a[i];
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
//-------------------------以下为建立虚树的过程----------------------------------------------------
if (bel[1]!=1) s[++top]=1; for (int i=1;i<=m;i++) { int t=a[i],f=0; while (top>0) { f=lca(s[top],t); if (top>1&&deep[f]<deep[s[top-1]]) {insert(s[top-1],s[top]); top--;} else if (deep[f]<deep[s[top]]) {insert(f,s[top]); top--; break;} else break; } if (s[top]!=f) s[++top]=f; s[++top]=t; } while (top>1) {insert(s[top-1],s[top]); top--;}
//-----------------------------------------------------------------------------
    dfs1(1); dfs2(1);
    for (int i=1;i<=dfn;i++) 
        for (int j=head[c[i]];j;j=next[j]) solve(c[i],list[j]);
    for (int i=1;i<=dfn;i++) f[bel[c[i]]]+=rem[c[i]];
    for (int i=1;i<=m;i++) printf("%d ",f[b[i]]); cout<<endl;
    for (int i=1;i<=dfn;i++) f[c[i]]=bel[c[i]]=head[c[i]]=rem[c[i]]=0;
}
int main()
{
    n=read();
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        int u=read(),v=read();
        insert(u,v); insert(v,u);
    }
    dfs(1,0);
    memset(head,0,sizeof(head));
    q=read();
    while (q--) query();
    return 0;
}

 

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