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不得不说，Mathematica真是个好东西，以前学习有限元的时候，对于书中的方程推导，看到了就看过去了，从没有想过要自己推导一遍，原因是手工推导太复杂。有了MM，原来很复杂的东西突然变得简单了。
1.单元几何描述
上图是纯弯梁单元，长度l，弹模E，面积A，惯性矩I。两个节点1和2的位移列阵为
\[
q^{e}=[v_{1},\theta_{1},v_{2},\theta_{2}]^{T}
\]
$v$是挠度(defection)，或者叫位移；$\theta$是转角(slope)。需注意的是$v$和$\theta$的方向，一个是向上，一个是逆时针。
两个节点的节点力矩阵为
\[
P^{e}=[P_{v1},M_{1},P_{v2},M_{2}]^{T}
\]
当然实际情况往往是在梁的长度方向上作用有荷载，而不是只在节点处有，这时就要进行荷载等效，后面会有说明。注意这两个矩阵都是列矩阵。
2.单元位移场表达
由于有4个位移节点的已知条件，那么假设纯弯曲梁单元的位移挠度函数具有四个待定系数，如下形式
\begin{equation}
v(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}
\end{equation}
对于两端节点，位移和转角分别为$v_{1},\theta_{1},v_{2},\theta_{2}$，注意挠曲线方程在一点出的导数值即为改点的转角，所以四个边界条件为
$$
\begin{cases}
v(0)=v_{1} & v‘(0)=\theta_{1}\\
v(L)=v_{2} & v‘(L)=\theta_{2}
\end{cases}
$$
使用MM求解方程组
将求得的待定系数带入原方程，可得
将四个位移合并同类项，可以得到
即最终的挠曲线方程vfea为
$$
vfea=\text{$\theta $1} \left(\frac{x^3}{L^2}-\frac{2 x^2}{L}+x\right)+\text{$\theta $2} \left(\frac{x^3}{L^2}-\frac{x^2}{L}\right)+\text{v1} \left(\frac{2 x^3}{L^3}-\frac{3 x^2}{L^2}+1\right)+\text{v2} \left(\frac{3 x^2}{L^2}-\frac{2 x^3}{L^3}\right)
$$
如果令$\zeta=\frac{x}{L}$，上式中位移前的系数组成的矩阵称之为形函数矩阵，也就是常说的形函数。
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原文地址：http://www.cnblogs.com/SimuLife/p/4716246.html
