[复变函数]第20堂课 5.4 整函数与亚纯函数的概念

时间：2014-04-30 04:37:01 阅读：366 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

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1. 整函数 (entire function)

(1) 定义: 若 $f$ 在 $\bbC$ 上解析, 则称 $f$ 为整函数.

(2) 性质: $\dps{f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n,\ 0\leq |z|<\infty}$ .

(3) 例: $f(z)=e^z,\sin z,\cos z$ .

(4) 分类 (按 $\infty$ 为 $f$ 的哪类奇点)

\infty 为 f 的可去奇点 \infty 为 f 的 m 阶极点 \infty 为 f 的本质奇点 ? f \equiv c o n s t, ? f 是一个 m 次多项式, ? 有无穷多个 c n \neq 0.

$\beex \bea \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的可去奇点}&\lra f\equiv \const,\\ \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的 }m\mbox{ 阶极点}&\lra f\mbox{ 是一个 }m\mbox{ 次多项式},\\ \infty\mbox{ 为 }f\mbox{ 的本质奇点}&\lra \mbox{有无穷多个 }c_n\neq 0. \eea \eeex$

(5) 单叶整函数的刻画:

f (z) = a z + b, (a \neq 0) .

$\bex f(z)=az+b,\quad (a\neq 0). \eex$

2. 亚纯函数 (meromorphic function)

(1) 定义: 若 $f$ 在 $\bbC$ 上除极点外没有其他类型的奇点, 则称 $f$ 为亚纯函数.

(2) 分类: $\dps{\sedd{\ba{lll} \mbox{有理函数 }\cfrac{P(z)}{Q(z)}&\mbox{刻画:}&\mbox{在 }\bbC^*\mbox{上除极点外没有其他类型的奇点}\\ \mbox{ 超越整函数}&\mbox{例:}&\cfrac{1}{e^z-1} \ea}}$ .

作业: P 213 T 4 (3) (4) .

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