字符串匹配：从机器到后缀自己主动KMP

为P="abcabcacab", T[1..i]后缀。因此，它是sam最长前缀长度:
T: b a b c b a b c a b c a a b c a b c a b c a c a b  c
   1 1 2 3 1 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5 6 7 8 9 10 4
假设最长前缀长度是|P|，则表示T[1..i]的后缀和P匹配。

内存使用
可能多个trans指针同一个节点。因此像删除树那样会引起double-free:
为此我们临时採用内存池的做法。
假设扩展到包含数字和空格，则须要表示37个转移指针。

KMP算法
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给定模式串P,文本串T,
如果在s位置已匹配了q个字符, 即P[1,..,q]=T[s+1,..,s+q], 而在P[q+1]不匹配。

strstr()这时会把指针指向s+2,从P[1]又一次開始匹配。

当时Knuth,Morris,Pratt就想可不能够把指针再移远一点。

如果有P[1,..,k]=T[s+q+1-k,..,s+q],这时从P[k+1]開始比即可了，显然我们希望k越大越好，相应地指针移动增量=q-k越小，因此应该不会错过某些全然匹配的位置。
我们把上面两个等式合并，得到P[1,..,k]是P[1,..,q]的后缀。

问题变成：
对于每一个q, 求P[1,..,q]的最长的真前缀（长度记为k)，同一时候它也是P[1,..,q]的后缀。
我们定义前缀函数pi(q):=k.


怎样计算pi(q) ?
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使用递推的想法，如果我们已经计算好了pi(q)=k。
假设P[k+1] = P[q+1], 则显然有pi(q+1) = k+1；
否则，看作是一个匹配问题, 我们来看pi(q)的含义是与P[1,..,q]末尾匹配的最长前缀长度k，我们就拿这个前缀来匹配，并期望P[k+1]和P[q+1]一样，否则k=pi(k)循环下去。

初始条件:pi(1) = 0， 由于最长真前缀是空串。


当前P[1,..,k]匹配T[q-k+1,q]，而在T[q+1]不匹配。
应用前缀函数的定义。应该从位置s+1-k + q-k = 
一个字符串P[1,..,j]去匹配P[q+1-j,..q+1]的过程。

k=pi(k), 直到P[k] = P[q+1]。


怎样做线性的字符串匹配？
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參照后缀自己主动机的做法， 我们把pi和P组成一个自己主动机，T在这个自己主动机上
走一遍。

前缀函数练习题目：
1. P 在T中的出现次数? 提示：检查pi(PT)
2. (ab)^3 = ababab, 怎样求最大的反复因子r=3?

3. 怎样在线性时间内推断是否为循环移位，比方arc和car。（这个我还不知道怎么做）

KMP比SAM节省内存：