队列优化和斜率优化的dp

时间：2015-08-10 21:35:35 阅读：122 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

标签：

可以用队列优化或斜率优化的dp这一类的问题为 1D/1D一类问题

即状态数是O(n)，决策数也是O(n)

单调队列优化

我们来看这样一个问题：一个含有n项的数列(n<=2000000)，求出每一项前面的第m个数到它这个区间内的最小值

可以使用RMQ求区间最小值，那么时间复杂度是O(nlogn)，不是让人很满意。

dp[i]为i-m+1->i这个区间的最小值。

那么状态转移方程是技术分享

可以看出，这个题目的状态数是O(n)，决策数是O(m)，且决策的区间是连续的，那么可以尝试想办法把O(m)优化成O(1)

我们可以用单调队列维护一个数据结构，这个数据结构有两个域，pos和val，pos代表下标，val代表该下标所对应的值。队列中的pos单调递增，且val也单调递增

那么当计算一个状态时，只要从队首不断弹出pos<i-m+1的数据，只要pos>=i-m+1,那么该决策就是最优的，因为队列是单调的啊。

同理，同队尾插入一个数据时，只要不断剔除val比a[i]大的数据，直到遇到小于它的，然后将该数据插入队尾。

每个数据只入队列，出队列一次，所以时间复杂度是O(n)，

分析：为什么插入的时候，比a[i]大的数据可以剔除，因为j<i时，a[j] > a[i], 那么以后所有的决策中，a[i]都比a[j]更优

　　为什么可以不断删除pos<i-m+1的数据，因为i是递增的，该数据对当前的i没用，那么对以后的i也是没用的。

 1 #include <stdio.h>
 2 #include <string.h>
 3 #include <stdlib.h>
 4 #include <algorithm>
 5 #include <iostream>
 6 #include <queue>
 7 #include <stack>
 8 #include <vector>
 9 #include <map>
10 #include <set>
11 #include <string>
12 #include <math.h>
13 using namespace std;
14 #pragma warning(disable:4996)
15 #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
16 typedef long long LL;                   
17 const int INF = 1<<30;
18 /*
19 */
20 const int N = 100 + 10;
21 int a[N];
22 int dp[N];
23 int q[N], head, tail;
24 int main()
25 {
26     int n, m;
27     while (scanf("%d%d", &n,&m) != EOF)
28     {
29         for (int i = 1; i <= n; ++i)
30             scanf("%d", &a[i]);
31         head = tail = 0;
32         q[tail++] = 1;
33         dp[1] = a[1];
34         for (int i = 2; i <= n; ++i)
35         {
36             while (head < tail && a[i] < a[q[tail - 1]])//插入新的元素，要使得队列依旧单调递增
37                 tail--;
38             q[tail++] = i;
39             while (head < tail && q[head] < i - m + 1)//剔除不合要求的pos
40                 head++;
41             dp[i] = a[q[head]];
42         }
43         for (int i = 1; i <= n; ++i)
44             printf("%d ", dp[i]);
45         puts("");
46         /*
47         5 3
48         1 2 3 4 5
49         1 1 1 2 3
50         */
51     }
52     return 0;
53 }