Vijos1008 篝火晚会

• 题目大意：给定初始序列和构建目标序列的条件，问最少需要多少步所谓的“变换”能达成该序列。

• 对题目的理解：如果按照原文所说，“变换”的定义是“这个命令的作用是移动编号是b1，b2，…… bm–1，bm的这m个同学的位置。要求b1换到b2的位置上，b2换到b3的位置上，……，要求bm换到b1的位置上”，但这条命令究竟是什么意思呢？我相信不少人的理解是将a1至am这些数字循环移动一位（实际上我刚开始也是这样想的，后来发现这样想越来越诡异，便看了题解），实际上不是这样的！这条命令的意思是，选定任意的m个数。注意，是任意的，也就是说，数字的选择可以不遵从初始序列的顺序。举个例子，假设一个序列是1,2,3…n,你可以选出1,2进行交换，也可以选出1,3,6进行交换，选出7,1,5,3交换也是符合题意的。

• 思路：由题意可以看出，这是一个环，但我们处理时要将它拆开，这样一来就有需要注意的地方了，一个环拆成序列后有多种可能，并且顺时针拆和逆时针拆也是不一样的，这些情况都要考虑在内。我们用原始序列与拆成的某个目标序列相比较时，必然会存在一些已经到达相应位置的元素，然而对于没有到达的元素（假设有m个），从上面对于“变换”的分析可以看出，我们一定能用代价m使之变换到符合题意的情况（因为对于变换序列中元素的选取是完全随机的和无序的，这样我们的每次代价为m的变换都能使m个元素归至指定位置）。于是我们得出这样的一个初步的解决方案：将所有由环拆成的目标序列与初始序列比较，那么，位置不相同数目的最小值便是我们需要的答案。但是，这样做会导致一个问题，那就是超时。

• 优化策略：显然我们需要一个耗时更短的策略去寻找位置不相同数目的最小值。经过对目标序列的循环移动及其与初始序列（在本题中就是1,2,…,n）的比较发现，总有某几个元素，它们的变换情况是相同的，也就是说，它们要么同时到达指定位置，要么同时离开指定位置，这就为问题的解决提供了契机。如果我们能找到具有该种性质元素的数目的最大值，让这些元素首先与目标序列匹配，那么，我们需要加以变换的元素数目就会因此达到最少，也就是，总代价最少，这就是我们要的答案。如何寻找这类元素呢？

• 元素的寻找：我们发现，如果记delta[i]=target[i]（某一目标序列位置i的元素值）-pre[i]（初始序列位置i的元素值），为了防止负下标的出现，记delta[i]=(target[i]-pre[i]+n)%n，在某些位置会有delta相等的情况，记下它们之间的相对位置，当目标序列循环转动时，这些位置的delta虽然发生变化，但仍旧是一样的，它们的相对位置也不会发生变化。当delta值为0时，这些元素也就归位了，正好符合了我们的需要，也不必对每个目标序列进行比较了。如果将具备某一delta值这种位置归为一个集合，那么显然有许多具备不同delta值的集合。于是，为了求出最大值，我们构建一个数组same，每到一个位置same[delta]++，则最后的ans=min(n-same[delta])。需要注意的一点是，我们上述的讨论都是在同一个顺序（顺时针或逆时针拆环）的情况下进行的，所以我们需要构建这两种序列的delta数组，之后再对每一种情况求最小值。

• 关于目标序列的构建：我们先不考虑环的无序性，将它拆为一个有序的序列，然后从前往后填入元素，每次填下一个元素时，看它的左右要相邻的两个是否被使用过，没有则填上，若无法填，输出-1即可。如果一个序列可以被构建，那么这样填一定符合题意。

• 代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=50005;
int n,near[maxn][3];
int target[maxn],same[maxn];
bool use[maxn];

void init()
{
    scanf("%d",&n);
    int l,r;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d%d",&l,&r);
        near[i][1]=l;
        near[i][2]=r;
    }
}

void work()
{
    target[1]=1;
    use[1]=1;
    for (int i=1;i<=n-1;++i)     /*构建目标序列*/
    {
        if (!use[near[target[i]][1]])
        {
            target[i+1]=near[target[i]][1];
            use[near[target[i]][1]]=1;
        }
        else if (!use[near[target[i]][2]])
        {
            target[i+1]=near[target[i]][2];
            use[near[target[i]][2]]=1;
        }
        else
        {
            puts("-1");
            return;
        }
    }
    memset(same,0,sizeof(same));  /*顺序求解*/
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        int delta=(target[i]-i+n)%n;
        same[delta]++;
    }
    int ans=1000000000;
    for (int i=0;i<=n-1;++i)
    {
        ans=min(ans,n-same[i]);
    }
    memset(same,0,sizeof(same));  /*逆序求解*/
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        int delta=(target[n-i+1]-i+n)%n;
        same[delta]++;
    }
    for (int i=0;i<=n-1;++i)
    {
        ans=min(ans,n-same[i]);
    }
    printf("%d",ans);
}

int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}