poj-2888 Magic Bracelet

标签：poj   burnside引理   矩阵乘法   欧拉函数   

题意：

给出n个珠子的项链和m种珠子；

珠子之间有k对关系，这些珠子不能相邻；

无法通过旋转变成相同的项链视为本质不同；

求本质不同的项链个数，答案对9973取模；

n<=10^9，gcd(n,9973)=1，m<=10；

题解：

这显然是一个置换计数的问题；

上burnside引理还是选择poi？

上burnside引理，因为poi定理对颜色的限制要很宽泛才行！

先考虑一种置换姿势，旋转x个珠子；

那么就将项链分成了gcd(x,n)大小的段，而要求的不变置换数要求这些段完全相同；

问题就是求这些珠子在gcd(x,n)+1长度的链中可以有多少种摆法；

这里可以递推求得，矩阵优化；

具体矩阵与珠子关系有关，不细说了；

这时我们如果枚举1-n的姿势肯定是超时的，那么枚举n的约数；

对于n的每一个约数p，考虑有几个数与n的gcd为p；

这里的数是不会大于n的，所以这里的数/p一定小于n/p；

并且gcd为p所以一定与n/p互质，然后就是欧拉函数了；

具体实现不太复杂，但是细节挺多？

反正我没加反向的关系边WA了好多好多发(笑)；

Orz wzq神犇；

时间复杂度O(√n*m^3logn)；

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 10
#define mod 9973
using namespace std;
struct matrix
{
	int a[N][N];
	int val(int m)
	{
		int ret=0;
		for(int i=0;i<m;i++)
			ret+=a[i][i];
		return ret%mod;
	}
	friend matrix operator *(matrix x,matrix y)
	{
		matrix ret;
		memset(&ret,0,sizeof(matrix));
		for(int i=0;i<N;i++)
			for(int j=0;j<N;ret.a[i][j]%=mod,j++)
				for(int k=0;k<N;k++)
					ret.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
		return ret;
	}
}temp,T,In;
matrix pow(matrix x,int y)
{
	matrix ret=In;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			ret=ret*x;
		x=x*x;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
int pow(int x,int y)
{
	int ret=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			ret=ret*x%mod;
		x=x*x%mod;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
int phi(int x)
{
	int ret=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0)
		{
			ret/=i,ret*=i-1;
			while(x%i==0)
				x/=i;
		}
	}
	if(x!=1)
		ret/=x,ret*=x-1;
	return ret;
}
int main()
{
	int c,Tc,n,m,i,j,k,x,y,ans;
	scanf("%d",&Tc);
	for(i=0;i<N;i++)
		In.a[i][i]=1;
	for(c=1;c<=Tc;c++)
	{
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
		memset(&T,0,sizeof(T));
		for(i=0;i<m;i++)
			for(j=0;j<m;j++)
				T.a[i][j]=1;
		for(i=1;i<=k;i++)
		{
			scanf("%d%d",&x,&y);
			x--,y--;
			T.a[x][y]=T.a[y][x]=0;
		}
		for(i=1,ans=0;i*i<=n;i++)
		{
			if(n%i==0)
			{
				temp=pow(T,n/i);
				ans+=phi(i)%mod*temp.val(m)%mod;
				ans%=mod;
				if(i*i==n)	continue;
				temp=pow(T,i);
				ans+=phi(n/i)%mod*temp.val(m)%mod;
				ans%=mod;
			}
		}
		printf("%d\n",ans*pow(n%mod,mod-2)%mod);
	}
	return 0;
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/ww140142/article/details/47446821