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1、前言
数论篇的第二章，这一章主要内容在于将导数联系上很关键的内容——积分。
2、求非线性函数所围面积
现给出一个二次函数y=x^2，要求出该函数和x=1，y=0两条直线围成形状的面积。显然这不是求三角形，矩形一样来个公式割割划划就行了。首先引入一个大家以前应该都有所接触的求圆面积的方式。在还没有圆周率这个概念的时候，人们求圆面积的方法都是将圆的曲线化直，易得所求的多边形面积必定小于圆的面积，而使误差减小的最好方式就是使边数增加，如图所示：
随着边数的增加，所得面积趋近于圆面积。
而同样地，求如上问题的时候，也可以利用这个思想——化曲为直。如何画？将区间[0,1]分成若干个小区间，对于每一个部分，用矩形面积代替小曲边梯形面积，得到每个面积的近似值。我们假设将[0,1]拆分成[0,1/n]，[1/n,2/n]，[2/n,3/n]，……，[n-1/n,1]，对于每一个小区间，长度为1/n，分别过上述n-1个点作x轴垂线，它们的面积记为△S1，△S2……△Sn，显然，S=△S1+△S2+……+△Sn。
当我们n值取得足够大的时候，在区间[i-1/n,i/n]中，可以认为函数y=x^2的值变化很小，不妨认为其近似等于左端点处函数值f(i-1/n)。这样，可得△Si≈f(i-1/n)*x=(i-1/n)^2*x=(i-1/n)^2*(1/n)（i∈[1,n]）。故，S=△S1+△S2+……+△Sn=1/n^3*(1^2+2^2+……+(n-1)^2)=(1/n^3)*(n-1)*(2n-1)/6=1/3*(1-1/n)*(1-1/2n)。从而，S为所求的近似值。
由于n是不确定的，此处导数就派上了用场。我们再次从多次取特殊值来看起变化趋势：
<1> n=2 ==> S=0.12500
<1> n=4 ==> S=0.21875
<1> n=8 ==> S=0.27348
<1> n=16 ==> S=0.30273
<1> n=32 ==> S=0.31871
<1> n=128 ==> S=0.32944
<1> n=512 ==> S=0.33236
<1> n=2048 ==> S=0.33309
可以看到，当n趋向于无穷大，即△x趋向于0时，S趋向于标准答案，从而有：
如图，很形象地体现了：
此题我们近似代替所取的值为左端点，那么其实我们取区间范围内任意一处作为近似值，如右端点，同样可以得到1/3这个答案。
3、定积分的概念
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原文地址：http://www.cnblogs.com/jinkun113/p/4731407.html
