POJ3903 Stock Exchange

• 题目大意：求最长上升子序列……

• 思路：看这数据规模，L<=100000，还一个点多组测试数据，O($n^2$)的是不用指望了，于是要使用O(nlogn)的算法。

• 说一下该算法：令序列存于数组a中在O($n^2$)的算法中，我们对于一个f[i]值的确定，需要扫描j=1->i-1的所有a[j]值，并取a[j]$<$a[i]时的f[j]的最大值。试想如果存在两个个值x与y，满足x$<$y$<$i，x$<$y，且f[x]=f[y]，在构建序列的过程中，我们应该选择x还是y？显然，应该是x，因为在a[x]至a[i]中可能存在一个可以用于构建序列的元素。对于任意的满足f[t]=某一值k的所有a[t]，我们记d[k]=min(a[t]),即表示从1至某一位置最长上升子序列长度为k的末尾元素值的最小值，于是可以发现，对于序列d，有d[1]$<$d[2]<…$<$d[k-1]$<$d[k]，因为我们保存的都是最小元素值，每增加序列长度，放在最后的元素，因为是上升子序列，必然比原先的末尾元素大。于是我们得出这样一个策略，对于已经求出的长度为len（注意，是已经求出）的序列，对于某个元素a[t]，如果a[t]>d[len]，只需令a[t]接在d[len]之后，然后len++，即此时序列长度得到增加；否则，在序列d中寻找满足a[t]>d[j]的最大的j，令d[j+1]=a[t]，但是因为序列长度没有增加，所以对len无操作。实际操作时，只需枚举序列中的每一个元素，这是O(n)的，在寻找元素插入位置时，由于d具有单调性，我们可以利用二分查找，这是O(logn)的。于是，总时间复杂度降至O(nlogn)。

• 代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxl=100005;
int l,a[maxl],c[maxl];

int find(int l,int r,int x)
{
    int mid=(l+r)/2;
    if (l==r)
      return l;
    if (c[mid]>x)
      return find(l,mid,x);
    else 
      return find(mid+1,r,x); 
}

void work()
{
    int len=0,j;
    c[1]=-10000;
    for (int i=1;i<=l;++i)
    {
        if (a[i]>c[len])
          j=++len;
        else j=find(1,len,a[i]);
        c[j]=a[i];
    }
    printf("%d\n",len);
}

void init()
{
    while (scanf("%d",&l)==1)
    {
        for (int i=1;i<=l;++i)
          scanf("%d",&a[i]);
        work();
    }
}

int main()
{
    init();
    return 0;
}