二叉树的性质

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二叉树的性质

性质1：在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i≥1）。（数学归纳法可证）

性质2：深度为k的二叉树最多有2^k-1个结点（k≥1）。（由性质1，通过等比数列求和可证）

性质3：一棵二叉树的叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀ = n₂ + 1。

证：结点总数n = n₀ + n₁ + n₂。设B为分支总数，因为除根节点外，其余结点都有一个分支进入，所以n = B + 1。又因为分支是由度为1或2的结点射出，所以B = n₁ + 2n₂。综上：n = n₀ + n₁ + n₂ = B + 1 = n₁ + 2n₂ + 1，得出：n₀ = n₂ + 1。

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为floor(log₂n) + 1 。

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为floor(log₂n) + 1 ）的结点按层序编号，则对任一结点i（1≤i≤n）有：

（1） 如果i = 1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i > 1，则其双亲PARENT(i)是结点 floor((i)/2)。

（2）如果2i > n，则结点i无左孩子；否则其左孩子LCHILD(i)是结点2i。

（3）如果2i + 1 > n，则结点i无右孩子；否则其右孩子RCHILD(i)是结点2i + 1。

例题：

    一颗完全二叉树上有1001个结点，
                树的高度是多少？
                其叶子结点的个是多少？
                假如从1 开始编号，则编号最小的叶子结点编号为多少？
                有多少条边？
      解答：1.利用性质4，10
            2.501
            3.最后一个结点是1001，则其父节点编号500，500之后的结点全部为叶子结点，叶子结点为501个.并且第一个叶子结点编号也为501（巧合！！！！）
            4.1000条边

如有错误之处，还请多多包涵，欢迎指正！！

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