dp概括（1）

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本文借鉴网上某视频

Dynamic programming(动态规划)

1、将一个问题分解成许多子问题进行求解，最后再由子问题答案得到原本问题的答案（类似分治法）

2、相同的子问题会出现不止一次（与分治法区别）

3、将子问题的答案记录下来（可用记忆化搜索，以空间换时间）

问题一：用1*2的骨牌填满2*n的格子，共有多少种排法？
solve：以f(n)表示填满2*n格子的方法数,观察最后一格放置骨牌的情形

状态转移方程：f(n)=f(n-1)+f(n-2)
初始条件：f(1)=1,f(2)=2

费氏数列（斐波那契序列）

代码：1、自顶向下（一般采用递归）；2、自底向上（一般采用循环）

问题二：将n个排成一列的格子涂上红、绿、蓝三种颜色，且蓝绿不可相邻，问有几种涂法？

solve1:设f(n)为涂n格的方法数，但f(n)=???,状态转移方程不知道怎么写？

solve2:

设f(n,0)为涂n格，且最后一个为红色的方法数

设f(n,1)为涂n格，且最后一个为绿色的方法数

设f(n,2)为涂n格，且最后一个为蓝色的方法数

状态转移方程：

f(n,0)=f(n-1,0)+f(n-1,1)+f(n-1,2)

f(n,1)=f(n-1,0)+f(n-1,1)

f(n,2)=f(n-1,0)+f(n-1,2)

初始条件：f(1,0)=f(1,1)=f(1,2)=1

状态：用一些数字可以唯一的表示一个子问题

状态转移：如何由其他状态转移到某个状态

定义状态时应该注意的事

1、状态不能太多？（太多数组开不下，考虑状态压缩）

2、能否导出状态转移方程？（如问题2中，刚开始使用一维的状态很难导出状态的转移方程，所以我们重新定义状态为二维）

定义出状态且能导出状态转移方程

1、时间复杂度是否合理？

2、若不合理，能不能对状态转移方程做出优化？（如问题三，还有矩阵幂运算等等）

3、若还是不行，试试用其他方法定义状态

如何找出正确的状态转移方程呢？

1、靠经验

2、靠灵感

问题三：用1*2和1*3的L型骨牌填满2*n格子，共有几种排法？

定义状态：f(n)表示填满2*n格子的方法数（判断状态是否太大）

状态转移：

同样考虑最后一格的方法，放1*2的case已经在问题1中讨论过，因此只讨论放L型骨牌的case

·

·

·

分析：因为上面的良好总情况是对称的，所以只考虑一种方向

最后放1*2: f(n-1)+f(n-2)

最后放L型： 2[f(n-3)+f(n-4)+···+f(1)+f(0)]

状态转移方程：

f(n)=f(n-1)+f(n-2)+2[f(n-3)+f(n-4)+···+f(1)+f(0)]     O(n)的时间转移

优化f(n)=f(n-1)+f(n-2)+2[f(n-3)+f(n-4)+···+f(1)+f(0)]

方法一：使用变数记录前缀和：tmp=f(0)+f(1)+···+f(n-3)

如此状态转移变成：f(n)=f(n-1)+f(n-2)+2*tmp       O(1)的时间转移

方法二：化简转移式

f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+2[f(n-4)+f(n-5)+···+f(1)+f(0)]

f(n-1)+f(n-3)=f(n-2)+2[f(n-3)+f(n-4)+···+f(1)+f(0)]

得到2[f(n-3)+f(n-4)+···+f(1)+f(0)]=f(n-1)-f(n-2)+f(n-3)

转移式变成f(n)=2f(n-1)+f(n-3)                                 O(1)的时间转移

方法二：
f(n,0):铺满2*n的方法数
f(n,1):铺满2*n且下面多一格的方法数
状态转移：
f(n,0)=f(n-1,0)+f(n-2,0)+2f(n-2,1)
f(n,1)=f(n-1,0)+f(n-1,1)
初始状态：
f(0,0)=1,f(0,1)=0
f(1,0)=1,f(1,1)=1
f(2,0)=2,f(2,1)=2

问题四：给一个正整数，现在从里面取出一些数，但两数不能相邻，求取出数字和的最大值？

方法一：
定义状态：f(n)为从arr[1]到arr[n]中取数字，且取到arr[n]的总和最大值
状态转移：f(n)=max(f(n-2),f(n-3))+arr[n]
最后答案：max(f(n),f(n-1))

方法二：
定义状态：
f(n,0)为从f(n)为从arr[1]到arr[n]中取数字，且没有取到arr[n]的总和最大值
f(n,1)为从f(n)为从arr[1]到arr[n]中取数字，且有取到arr[n]的总和最大值
状态转移：
f(n,0)=max(f(n-1,0),f(n-1,1))
f(n,1)=f(n-1,0)+arr[n]
最后答案：max(f(n,0),f(n,1))

dp概括（1）

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原文地址：http://blog.csdn.net/mengxingyuanlove/article/details/47700363