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解密SVM系列(二):SVM的理论基础

时间:2015-08-17 19:32:59      阅读:315      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:svm   支持向量机   机器学习   

上节我们探讨了关于拉格朗日乘子和KKT条件,这为后面SVM求解奠定基础,本节希望通俗的细说一下原理部分。

一个简单的二分类问题如下图:
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我们希望找到一个决策面使得两类分开,这个决策面一般表示就是WTX+b=0,现在的问题是找到对应的W和b使得分割最好,知道logistic分类 机器学习之logistic回归与分类的可能知道,这里的问题和那里的一样,也是找权值。在那里,我们是根据每一个样本的输出值与目标值得误差不断的调整权值W和b来求得最终的解的。当然这种求解最优的方式只是其中的一种方式。那么SVM的求优方式是怎样的呢?

这里我们把问题反过来看,假设我们知道了结果,就是上面这样的分类线对应的权值W和b。那么我们会看到,在这两个类里面,是不是总能找到离这个线最近的点,向下面这样:
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然后定义一下离这个线最近的点到这个分界面(线)的距离分别为d1,d2。那么SVM找最优权值的策略就是,先找到最边上的点,再找到这两个距离之和D,然后求解D的最小值,想想如果按照这个策略是不是可以实现最优分类,是的。好了还是假设找到了这样一个分界面WTX+b=0,那么做离它最近的两类点且平行于分类面,如上面的虚线所示。好了再假设我们有这两个虚线,那么真实的分界面我们认为正好是这两个分界面的中间线,这样d1就等于d2了。因为真实的分界面为WTX+b=0,那么就把两个虚线分别设置为WTX+b=1WTX+b=?1可以看到虚线相对于真实面只是上下移动了1个单位距离,可能会说你怎么知道正好是一个距离?确实不知道,就假设上下是k个距离吧,那么假设上虚线现在为WTX+b=k,两边同时除k可以吧,这样上虚线还是可以变成WT1X+b1=1,同理下虚线也可以这样,然后他们的中线就是WT1X+b1=0吧,可以看到从k到1,权值无非从w变化到w1,b变到b1,我在让w=w1,b=b1,不是又回到了起点吗,也就是说,这个中间无非是一个倍数关系。所以我们只需要先确定使得上下等于1的距离,再去找这一组权值,这一组权值会自动变化到一定倍数使得距离为1的。

好了再看看D=d1+d2怎么求吧,假设分界面WTX+b=0,再假设X是两维的,那么分界面再细写出来就是:w1x1+w2x2+b=0。上分界线:w1x1+w2x2+b=1,这是什么,两条一次函数(y=kx+b)的曲线是不是,那么初中就学过两直线的距离吧,d=|c2?c1|w21+w22???????=1||W||

这里W=(w1,w2),是个向量,||W||为向量的距离,那么||W||=WTW。下界面同理。这样D=d1+d2=2||W||=2WTW,要使D最大,就要使分母最小,这样优化问题就变为min(12WTW),乘一个系数0.5没影响,但是在后面却有用。

我们知道,如果一个一次函数分界面为WTX+b=0,那么线上方的x可以使得WTX+b>0,下方的x可以使得WTX+b<0吧,那么对于上界面以上的点就有WTX+b>1,下界面以下的点就有WTX+b<?1。我们现在再假设上界面以上的点的分类标签为1,下界面以下的点的分类标签为-1。那么这两个不等式再分别乘以他们的标签会怎么样?是不是可以统一为yi(WTxi+b)1了(这也是为什么SVM在使用之前为什么要把两类标签设置为+1,-1,而不是0,1等等之类的了)。好了假设分界面一旦确定,是不是所有点都得满足这个关系。那么最终的带约束的优化问题转化为:

min12WTWs.t.yi(Wxi+b)1
把约束条件换成小于号的形式:
s.t.1?yi(Wxi+b)0
注意的是这可不是一个约束条件,而是对所有的每个样本xi都有一个这样的约束条件。
转换到这种形式以后是不是很像上节说到的KKT条件下的优化问题了,就是这个。但是有一个问题,我们说上节的KKT是在凸函数下使用的,那么这里的目标函数是不是呢?答案是的,想想WT?W,函数乘出来应该很单一,不能有很多极点,当然也也可以数学证明是的。

好了那样的话就可以引入拉格朗日乘子法了,优化的目标变为:

L(w,b,α)=12wTw+α1h1(x)+...+αnhn(x)=12wTw?α1[y1(wx1+b)?1]?...?αn[yn(wxn+b)?1]=12wTw?i=1Nαiyi(wxi+b)+i=1Nαi

然后要求这个目标函数最优解,求导吧,
?L?w=w?i=1Nαiyixi=0?w=i=1Nαiyixi?L?b=?i=1Nαiyi=0?i=1Nαiyi=0

这两个公式非常重要,简直是核心公式。
求导得到这个应该很简单吧,那我问你为什么WTW对w求导是w呢?如果你知道,那么你很厉害了,反正开始我是一直没转过来。其实说起来也很简单,如果光去看看为什么求导以后,转置就没了,不太好想明白,设想一下假设现在是二维样本点,也就是最终的W=(w1,w2),那么WTW=w1?w1+w2?w2那么对w1求导就是2w1,对w2就是2w2,这样写在一起就是对w求导得到(2w1,2w2)=2w了,然后乘前面一个1/2(这也就是为什么要加一个1/2),就变成w了。

好了得到上面的两个公式,再带回L中把去w和b消掉,你又可能发现,w确实可以消,因为有等式关系,那b怎么办?上述对b求导的结果竟然不含有b,上天在开玩笑吗?其实没有,虽然没有b,但是有那个求和为0呀,带进去你会惊人的发现,b还真的可以消掉,就是因为了那个等式。简单带下:

W(α)=L(w,b,α)=12(i=1Nαiyixi)T(j=1Nαjyjxj)?i=1Nαiyi((i=1Nαiyixi)xi+b)+i=1Nαi=12(i,j=1Nαiyiαjyjxi?xj)?i,j=1Nαiyiαjyjxi?xj+bi=1Nαiyi+i=1Nαi=?12(i,j=1Nαiyiαjyjxi?xj)+i=1Nαi

那么求解最最开始的函数的最小值等价到这一步以后就是求解W的最大值了,因为使用了拉格朗日乘子法后,原问题就变为其对偶问题了,最小变成了最大,至于为什么,等到详细研究过对偶问题再来解释吧。不了解的,只需要知道求W的极值即可。
整理一下,经过这么一圈的转化,最终的问题为:
maxW(α)=?12(i,j=1Nαiyiαjyjxi?xj)+i=1Nαis.t.αi0i=1Nαiyi=0

为什么有αi0,这是上节说到的KKT条件的必须。至此问题来源部分到这。

细心的你肯可能会发现,上述所有的构造等等都是在数据完全线性可分,且分界面完全将两类分开,那么如果出现了下面这种情况:
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正负两类的最远点没有明显的分解面,搞不好正类的最远点反而会跑到负类里面去了,负类最远点跑到正类里面去了,要是这样的话,你的分界面都找不到,因为你不可能找到将它们完全分开的分界面,那么这些点在实际情况是有的,就是一些离群点或者噪声点,因为这一些点导致整个系统用不了。当然如果不做任何处理确实用不了,但是我们处理一下就可以用了。SVM考虑到这种情况,所以在上下分界面上加入松弛变量?i,认为如果正类中有点到上界面的距离小于?i,那么认为他是正常的点,哪怕它在上界面稍微偏下一点的位置,同理下界面。还是以上面的情况,我们目测下的是理想的分解面应该是下面这种情况:
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如果按照这种分会发现4个离群点,他们到自己对应分界面的距离表示如上,理论上讲,我们给每一个点都给一个自己的松弛变量?i,如果一个分界面求出来了,那么比较这个点到自己对应的界面(上、下界面)的距离是不是小于这个值,要是小于这个值,就认为这个界面分的可以,比如上面的?3这个点,虽然看到明显偏离了正轨,但是计算发现它的距离d小于等于我们给的?3,那么我们说这个分界面可以接受。你可能会说那像上面的?10,距离那么远了,他肯定是大于预设给这个点的?i了对吧,确实是这样的,但是我们还发现什么?这个点是分对了的点呀,所以你管他大不大于预设值,反正不用调整分界面。需要调整分界面的情况是只有当类似?3这样的点的距离大于了?3的时候。

好了那么因为松弛变量的加入,导致每个点的约束条件就变化了点,像上界面以上的点,它满足的条件可能就是:WTxi+b1??i,yi=1
而下界面可能就是:WTxi+b?1+?i,yi=?1
并且?i0
统一在一起,整个问题就变成:

min12WTW+Ci=1N?is.t.1+?i?yi(Wxi+b)0?i0

你发现目标函数里面多了一点东西,而加上这个是合理的,我们在优化的同时,也使得总的松弛变量之和最小。常数C决定了松弛变量之和的影响程度,如果越大,影响越严重,那么在优化的时候会更多的注重所有点到分界面的距离,优先保证这个和小。
好了将问题写在一起吧:
L(x,α,β)=12WTW?i=1Nαi(yi(Wxi+b)+?i?1)+Ci=1N?i?i=1Nri?i

然后对w,b,?分别求导数:
?L?w=w?i=1Nαiyixi=0?w=i=1Nαiyixi?L?b=?i=1Nαiyi=0?i=1Nαiyi=0?L??i=0?C?αi?ri=0

观察第三个式子,因为ri0,所以c?αi0?αiC,结合αi0那么0αiC,把这三个导数结果带到目标函数中去消掉对应的w,b以及ri,你会惊人的发现,连?i也消掉了,并且目标函数和没有加松弛变量的一模一样:
W(α)=?12(i,j=1Nαiyiαjyjxi?xj)+i=1Nαi

这么说,溜了一圈下来,无非多了个αiC,其他的什么也没有变,真好。那么统一一下,更一般的带松弛变量的优化函数以及约束条件就变为:
W(α)=?12(i,j=1Nαiyiαjyjxi?xj)+i=1Nαis.t.0αiCi=1Nαiyi=0

剩下的问题是怎么去找这样一组最优解αi了。看过上节的可能会知道,在上节的最后那个实例中也是寻找αi,不过那里只有两个αi,而αi要么等于0,要么大于0,而αi大于0的时候,对应的另外一个因子就等于0。然后讨论这四种情况找到满足解。但是我们这里的αi可不止2个,想挨着讨论是不行的,且这里的KKT条件和上节的那个还不太一样。那么这里的KKT条件是什么呢?具体又要怎么解这样一堆αi的问题呢?请看下节的SMO算法求解SVM问题。

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