49886

时间：2014-05-04 20:17:42 阅读：286 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

$\bf命题：$设实二次型

f (x 1, ?, x n) = \sum i = 1 n (a i 1 x 1 + ? + a i n x n) 2

$f\left( {{x_1}, \cdots ,{x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{a_{i1}}{x_1} + \cdots + {a_{in}}{x_n}} \right)}^2}}$

证明二次型的秩等于$A = {\left( {{a_{ij}}} \right)_{n \times n}}$的秩

证明：我们容易知道

f (x 1, ?, x n) = \sum i = 1 n x' α i α i' x = x' (\sum i = 1 n α i α i') x

$f\left( {{x_1}, \cdots ,{x_n}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {x‘{\alpha _i}{\alpha _i}^\prime x} = x‘\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}{\alpha _i}^\prime } } \right)x$
其中${{\alpha _i} = {{\left( {{a_{i1}}, \cdots ,{a_{in}}} \right)}^\prime }}$，$x = {\left( {{x_1}, \cdots ,{x_n}} \right)^\prime }$，从而$f$的矩阵为

\sum i = 1 n α i α i' = (α 1, ?, α n) ? ? ? α 1' ? α n' ? ? ? = A' A

$\sum\limits_{i = 1}^n {{\alpha _i}{\alpha _i}^\prime } = \left( {{\alpha _1}, \cdots ,{\alpha _n}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\alpha _1}^\prime }\\ \vdots \\ {{\alpha _n}^\prime } \end{array}} \right) = A‘A$
而$r\left( {A‘A} \right) = r\left( A \right)$，故即证

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原文地址：http://www.cnblogs.com/ly758241/p/3706424.html

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