标签：
哈夫曼树又称为最优二叉树，哈夫曼树的一个最主要的应用就是哈夫曼编码，本文通过简单的问题举例阐释哈夫曼编码的由来，并用哈夫曼树的方法构造哈夫曼编码，最终解决问题来更好的认识哈夫曼树的应用--哈夫曼编码。
在学习中我们经常遇到将各科成绩改为优秀、良好、中等、及格和不及格。那么根据分级原理，代码表示为：
if(a<60) b = "不及格“; else if(a<70) b = "及格"; else if(a<80) b = "中等"; else if(a<90) b = "良好"; else if(a<70) b = "优秀";
那么用二叉树表示为：
在实际应用中，5个学生等级的分布规律如表所示
| 分数 | 0~59 | 60~ 69 | 70~79 | 80~89 | 90~100 |
| 所占比例 | 5% | 15% | 40% | 30% | 10% |
在上面中70分以上的比例是80%，但都需要经过三次比较判断才得出结果，显然不合理。
Huffman提出了想法，加入修改成如图所示
根据上面例子的引出，我们将各个成绩所占比例，当做权重标示在分支上，如图所示
哈夫曼树定义为：给定n个权值作为n个叶子结点，构造出的一棵二叉树带权路径长度达到最小。
1、路径和路径长度
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或子孙结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。在二叉树a中根节点到结点D路径长度为4，在二叉树b中结点D到根节点路径长度为2.
树的路径长度：树根到每个结点的路径长度之和。二叉树a = 1+1+2+2+3+3+4+4= 20.二叉树B = 1+2+3+3+2+1+2+2 = 16.
2、结点的权及带权路径长度
若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
3、树的带权路径长度
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和。
树的带权路径长度计算
二叉树a = 5*1+15*2+40*3+30*4+10*4 = 315；
二叉树b = 5*3+15*3+40*2+30*2+10*2 = 220；
如果我们现在用10000个学生需要转换，二叉树a需要31500（别往里是百分数，315/100*10000),二叉树b需要22000次，差不多少了三分之一呢。
从定义中可以看出哈夫曼树的一个最重要的特点：带权路径长度最短。
哈夫曼编码步骤：
一、对给定的n个权值{W1,W2,W3,...,Wi,...,Wn}构成n棵二叉树的初始集合F= {T1,T2,T3,...,Ti,...,Tn}，其中每棵二叉树Ti中只有一个权值为Wi的根结点，它的左右子树均为空。（为方便在计算机上实现算 法，一般还要求以Ti的权值Wi的升序排列。）
二、在F中选取两棵根结点权值最小的树作为新构造的二叉树的左右子树，新二叉树的根结点的权值为其左右子树的根结点的权值之和。
三、从F中删除这两棵树，并把这棵新的二叉树同样以升序排列加入到集合F中。
四、重复二和三两步，直到集合F中只有一棵二叉树为止。
简易的理解就是，假如我有A,B,C,D,E五个字符，出现的频率（即权值）分别为5,4,3,2,1,那么我们第一步先取两个最小权值作为左右子树构造一个新树，即取1，2构成新树，其结点为1+2=3，如图：
虚线为新生成的结点，第二步再把新生成的权值为3的结点放到剩下的集合中，所以集合变成{5,4,3,3}，再根据第二步，取最小的两个权值构成新树，如图：
再依次建立哈夫曼树，如下图：
其中各个权值替换对应的字符即为下图：
所以各字符对应的编码为：A->11,B->10,C->00,D->011,E->010
赫夫曼在研究这种最优二叉树时的主要目的是解决当年远距离通信（主要是电报）的数据传输的最优化问题。比如传输一串字符“BADCADFEED”，采用二进制数据表示，如下表：
| 字母 | A | B | C | D | E | F |
| 二进制字符 | 000 | 001 | 010 | 011 | 100 | 101 |
编码之后的二进制数据流为“001000011010000011101100100011”，对方接收时同样按照3位一组解码。现在假设这6个字母出现的频率不同，A 27%，B %8，C 15%，D 15%，E 30%，F 5%。下面将27、8、15、15、30、5分别作为A、B、C、D、E、F的权值构造赫夫曼树，如下图：
将右图赫夫曼树的权值左分支改为0，右分支改为1。
现在将这6个字母用从根节点到叶子所经过路径的0或1来编码，得到的编码表如下：
| 字母 | A | B | C | D | E | F |
| 编码 | 01 | 1001 | 101 | 00 | 11 | 1000 |
将“BADCADFEED”再次编码得到“1001010010101001000111100”，共25个字符，与之前编码得到的30个字符相比大约节约了17%的存储和传输成本。
在解码时，用同样的赫夫曼树，即发送方和接收方约定好同样的赫夫曼编码规则。当接收方接收到“1001010010101001000111100”时，比对右图中的赫夫曼树。
#include<iostream> #include<string> using namespace std; //结点类型 struct element { double weight; //字符出现的概率为实数 char ch; int lchild, rchild, parent; }; //在HuffTer中找权值最小的两个结点i1和i2 void Select(element huffTree[], int *a, int *b, int n) { int i; double weight = 0; for(i = 0; i <n; i++) { if(huffTree[i].parent != - 1) //如果有父结点的，不进行判断 continue; else { if(weight == 0) { weight = huffTree[i].weight; *a = i; } else { if(huffTree[i].weight < weight) { weight = huffTree[i].weight; *a = i; } } } } weight = 0; for(i = 0; i < n; i++) { if(huffTree[i].parent != -1 || (i == *a)) continue; else { if(weight == 0) { weight = huffTree[i].weight; *b = i; } else { if(huffTree[i].weight < weight) { weight = huffTree[i].weight; *b = i; } } } } int temp; if(huffTree[*a].lchild < huffTree[*b].lchild) //避免根结点的左右子树混淆 { temp = *a; *a = *b; *b = temp; } } //建立霍夫曼树 void HuffmanTree(element huffTree[], int w[], char ch[], int n) { for(int i = 0; i < 2 * n - 1;i++) //霍夫曼树共有2*n - 1个结点 { huffTree[i].parent = -1; //双亲结点 huffTree[i].lchild = -1; //左孩子结点 huffTree[i].rchild = -1; //右孩子结点 } for(int i = 0; i < n; i++) //构造n棵只含有根结点的二叉树 { huffTree[i].weight = w[i]; //给哈夫曼树赋权值 huffTree[i].ch = ch[i]; //需要编码的字符 } for(int k = n; k < 2 * n - 1; k++)//n-1次合并 { int i1 = 0; int i2 = 0; Select(huffTree,&i1,&i2,k); //在HuffTer中找权值最小的两个结点i1和i2 huffTree[i1].parent = k; //将i1和i2合并，则i1和i2的双亲是k huffTree[i2].parent = k; huffTree[k].weight = huffTree[i1].weight + huffTree[i2].weight; huffTree[k].lchild = i1; huffTree[k].rchild = i2; } } //霍夫曼编码 void HuffmanCode(element huffTree[], int n) { int i, j,k; string s = ""; for(i = 0; i < n; i++) //在数组HuffTree中前n个元素是叶子结点，需要编码 { s = ""; //编码s初始化为空串 j = i; //暂存i，不破坏循环变量 while(huffTree[j].parent != -1) //结点j存在双亲 { k = huffTree[j].parent; if(j == huffTree[k].lchild) //结点j是其双亲的左孩子 { s = s + "0"; } else //结点j是其双亲的右孩子 { s = s + "1"; } j = huffTree[j].parent; //将结点j的双亲赋给j } cout<<"字符"<<huffTree[i].ch<<"的编码："<<endl; for(int i =s.size() - 1; i >= 0; i--) //将s作为结点i的编码逆序输出 { cout<<s.at(i)<<" "; } cout<<endl; } } int main() { const int n = 6; element huffTree[2 * n]; char ch[] = {‘a‘, ‘b‘, ‘c‘,‘d‘,‘e‘,‘f‘}; int w[] = {50, 60, 150, 200, 240, 300}; // 构造霍夫曼树 HuffmanTree(huffTree,w,ch,n); //编码 HuffmanCode(huffTree,n); system("pause"); return 0; }
标签：
原文地址：http://www.cnblogs.com/polly333/p/4742261.html
