Games:取石子游戏（POJ 1067）

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　　　TH1：胜态一定可以通过某种策略走向必败态；而必败态采取任何策略都将走向胜态。

 

　　　图论语言：
　　　TH2：因为必败态只能走向胜态，所以任何两个必败态结点之间不可能存在边；
　　　TH3：因为胜态总能走到必败态，所以对任何一个非必败态的结点，

　　　　　　一定存在一个从它指向必败态结点的边。

　　　定义1：有向图中，集合X中任意两点之间无边，称集合X为内固集。
　　　定义2：有向图中，任意不在集合X中的点存在一条指向集合X的边，称集合X为外固集。
　　　定义3：有向图中，集合X 既是外固集，又是内固集，称集合X为核。

　　　TH4：双人博弈中，约定走最后一步为胜，如果有核存在，则其中一方有不败策略。

　　　TH5：有限个结点的无回路有向图有唯一的核。

定理1定理2和定理3我们不证（这个根据图来理解比较好一点），

对于定理4，因为博弈肯定对应的是有向图，我们可以假设A先走，A总是做到会把B逼入核中的情况，然后B可以退出核外（假设还是存在往外指的边），总是存在A最后会把B逼到走投无路的情况（当然你可能会问如果B退出来以后A走投无路怎么办，那不可能，因为如果是这样，A早就在核中了，违反了核的定义）。同理B也是一样分析

对于定理5：因为图无回路，所以一定是有终点的，终点的集合即是核。

 

 

 

 

好了知道了图论的这个知识以后，回到题目来，那么这道题，必败态就是核的集合了，那怎么找到核呢？我们可以递推的思想，找一下规律

我们知道（0,0）是一个特殊的必败点，那么根据非必败点能走到必败点的结论，我们根据题目的条件，我们可以用3条线去掉非必败点，横线，竖线，和斜线，那么我们就去掉了（0,k）,(k,0),(k,k)（k>1）的点，

接下来我们找第一个没有划的点，他一定是一个必败点，因为这个点不可能和（0,0）有交集，符合核的定义，我们找到了（2,1）和（1,2），我们也按照上面的处理方法，划线。

接下来就是（3,5）,（5,3）这两个必败点，同理，然后就是（4,7）（7,4）………………………………一直往后推

 

现在我们把这些点全部集中起来看，好了发现规律没？规律就是a(k)=b(k)+k，这个东西咱们写代码应该要熟悉，这个式子的a(k)和b(k)的比率，就是黄金分割率0.618（当然k要很大才是趋近这个数）

是不是有点奇怪？你可能会说，不行啊这只是我们画图推出来的规律，怎么可以拿来做结论呢？好吧，下面我们来稍微证明下：

 

#include <stdio.h>
#include <math.h>

int main(void)
{
    long double p = (sqrt((long double)5) + (long double)1) / (long double)2;
    int a, b, k;

    while (~scanf("%d%d",&a,&b))
    {
        k = b > a ? b - a : a - b;
        a = b > a ? a : b;
        if (a == (int)(p*k)) printf("0\n");
        else printf("1\n");
    }
}

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原文地址：http://www.cnblogs.com/Philip-Tell-Truth/p/4742415.html