• 【树形dp】就是在树上做的一些$dp$之类的递推，因为一般需要递归处理，因此平凡情况的处理可能需要理清思路。昨晚开始切了$4$题，作为入门训练。题目都非常简单，但是似乎做起来都还口以～

$hdu1520$ Anniversary party

• 给一颗关系树，各点有权值，选一些点出来。任一对直接相连的边连接的点不能同时选择，问选择出的权值和最大为多少。
• 考虑以$u$为根的子树可以选择的方法，$dp[u]$表示选择$u$时能获得最大收益，${dp}_2[u]$表示不选$u$时能获得的最大收益。则$u$不选时，为${dp}_2[u]=max\{dp[v],{dp}_2[v]\}_{v是u的孩纸}$；$u$要选时，为$dp[u]={value}_u+max\{dp2[v]\}_{v是u的孩纸}$

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  File Name: 1520.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015年08月18日 星期二 19时50分55秒

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int INF = 0xfffffff;
const int MAX = 6007;
vector<int> G[MAX];
int val[MAX];
int dp[2][MAX];
bool vis[MAX];
int n;

void dfs(int u) {
    //printf("dfs %d\n", u);
    vis[u] = true;
    dp[0][u] = 0;
    dp[1][u] = val[u];
    for (auto it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it) {
        if (!vis[*it]) {
            dfs(*it);
            dp[1][u] += max(0, dp[0][*it]);
            dp[0][u] += max(0, max(dp[0][*it], dp[1][*it]));
        }
    }
}

int main() {
    while (cin >> n && n) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            G[i].clear();
            cin >> val[i];
        }
        int x, y;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            cin >> x >> y;
            G[x].push_back(y);
            G[y].push_back(x);
        }
        cin >> x >> y; //0 0
        //fill(dp[0], dp[0] + n + 1, -INF);
        //fill(dp[1], dp[1] + n + 1, -INF);

        memset(vis, false, sizeof(vis));
        dfs(1); //node 1 is root
        /*
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            printf("dp[0][%d] = %d, dp[1][%d] = %d\n", i, dp[0][i], i, dp[1][i]);
        }
        */
        int ans = max(dp[0][1], dp[1][1]);
        if (ans == 0) {
            ans = -INF;
            for (int i = 1; i <= n; ++i) {
                if (ans < val[i]) {
                    ans = val[i];
                }
            }
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

$hdu2196$ Computer

• 一个树型网络，每个点代表一台$Computer$，每个点的$Maximum\ Distance$表示该点到树上其它所有点的距离中最长的。求 $$\sum_{i=1}^{n}{MDistance}_i$$
• 先预处理出各点深度。然后考虑点$u$的代价，即点$u$到其它某一点的最长路径，显然分为经过其父亲节点和不经过父亲节点两种。对于前者，我们在遍历时传递一个值$fd$给它，表示经过父亲节点到其它所有点的距离最长为多少，便可解决。对于后者，只需要考虑$u$到以$u$为根的子树中某一叶子的最长距离即可，于是可以通过$u$的孩子获得。下面说明怎么维护上述信息。
• 对后一种情况，非常简单地就可以做到：对每个点维护一个值，表示以该点为根的树的高度，不妨表示为${val1}_{u}$，则${val1}_u=max\{{val1}_v+1\}_{v为u的孩纸}$，初始化为0.
• 对前者，我们考虑$fd$首先必须包含$u$的父亲$fa$到$u$的这条边的长度，设为${len}_1$，然后有两种延伸方式，第一种是向$fa$的其它若干孩纸中的一个延伸下去，第二种是向$fa$的父亲延伸。第二种延伸显然已经无需额外维护，之前的递归已经处理完毕；第一种延伸则提示我们在搜索$fa$时，需要将$fa$得到的$fd‘$与$fa$的其它孩纸的$val1$值进行对比，取较大者作为$fd$传递给$u$，也就是用其它孩纸的$val1$来动态地更新维护$fd$值。这样整个问题就做完了。
• 注意输入

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  File Name: 2196.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015年08月19日 星期三 08时35分06秒

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

/*
 * let dp[i][j]表示节点i的孩纸j所在子树的最大深度.
 * dp[i][j] = max{dp[j][k]} + 1.
 * Then. dfs后继遍历整棵树，父亲为root，遍历孩纸i时，
 * 传递max{max{dp[root][k]}(k!=i), fd}和一个深度标记。
 * 其中fd为root的父亲传递进来的值。深度标记需要修正。
 * 此次扫描即可得出每个点的花费
 */

typedef pair<int, int> P;
typedef pair<P, int> PP;
const int MAX = 10007;
vector<P> G[MAX];
multimap<P, int> M[MAX];
int cost[MAX];
bool vis[MAX];

int dfs(int u) {
    vis[u] = true;
    int res = 0;
    for (auto it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it) {
        if (!vis[it->first]) {
            int dep = dfs(it->first) + it->second;
            if (dep > res) res = dep;
            M[u].insert(PP(P(dep, it->first), it->second));
        }
    }
    return res;
}

void gao(int u, int fd) {
    //printf("gao %d, with %d\n", u, fd);
    //cost[u] = max{fd, M[u].rbegin()->first|M[u].rbegin()-1 ->first}
    cost[u] = max(fd, M[u].empty() ? 0 : M[u].rbegin()->first.first);
    //printf("cost[%d] = %d\n", u, cost[u]);
    if (M[u].empty()) {
        return;
    } else if (M[u].size() == 1) {
        auto it = M[u].begin();
        gao(it->first.second, it->second + fd);
    } else {
        for (auto it = M[u].begin(); it != M[u].end(); ++it) {
            for (auto it2 = M[u].rbegin(); it2 != M[u].rend(); ++it2) {
                if (it2->first.second != it->first.second) {
                    //printf("%d != %d\n", it2->first.second, it->first.second);
                    gao(it->first.second, it->second + max(fd, it2->first.first));
                    break;
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n;
    while (cin >> n) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            G[i].clear();
            M[i].clear();
        }
        int x, y;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            cin >> x >> y;
            G[i].push_back(P(x, y));
            G[x].push_back(P(i, y));
        }
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        dfs(1);
        /*
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            printf("%d: ", i);
            for (auto it = M[i].begin(); it != M[i].end(); ++it) {
                printf("<%d,%d> ", it->first.second, it->first.first);
            }
            puts("");
        }
        */
        gao(1, 0);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            printf("%d\n", cost[i]);
        }
    }
    return 0;
}

$hdu1561$ The more, The Better

• 首先简单分析一下。
  
  • $1.$ 将依赖关系视为有向边，则原关系网络为一个有向图。
  • $2.$ 其次，我们发现任意一个点的入度不会大于$1$，也就是说，不会同时依赖于一个以上的点，原图似乎是一种拓扑的存在。
  • $3.$ 但是要注意，可能出现单向环，也就是出现类似：$a\to b,b\to c,c\to a$的环，那么我们假设有这样一个环，可以发现：首先，环上任意一点必不可选择；其次，如果真的有这么一个环，由发现2可知不会有其它点指向环上任意一点，那么只需要考虑有向外指向的边，这很好处理，我们只需要$check$一下，任何能从该环开始扫描到的点都视为$invalid$，不合法。
• 根据上面的分析，我们只需要先检查一遍，将所有在上述单向环上或者由某一个单向环可达的点检查出来，后续处理忽视它们即可。
• 还有一个问题，原图可能是一颗森林，即入度为$0$的点似乎可能有多个。有一个比较精巧的做法是，令 $$sum=1+\sum_{i=1}^{n}{val}_i$$ 增加点$0$，且${val}_0=sum$，由点$0$向所有入度为$0$的点连边，求解当前这个图的$dp[0][M+1]-\left(sum+1\right)$即可。我们看看为什么可以这么做:
  
  • 首先，根节点权值非常大，因此一定可以被选到，一旦有一种方案不选它，收益为$v_1$，则方案只选择根节点的收益$v_2=sum+1$一定大于$v_1$，所以$M+1$个点中一定有一个时根节点。把得到的最终方案中，根节点剔除掉，显然便是正解。而且输入数据对没有依赖的点给出的$a=0$也为这么做提供了方便
• 处理时，令$dp[i][j]$表示以$i$为根，树规模为$j$的子树的最大收益。那么$dp[i][j]=max\{dp[i][j-k]+dp[a][k]\}_{a为i的孩纸}$

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  File Name: 1561.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015年08月19日 星期三 10时59分42秒

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX = 207;
const int INF = INT_MAX / MAX;
vector<int> G[MAX];
int val[MAX];
bool vis[MAX];
bool valid[MAX];
int dp[MAX][MAX];
int dp2[MAX];
int n, m;

void check(int u) {
    vis[u] = true;
    for (auto it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it) {
        if (vis[*it]) {
            valid[u] = false;
        }
        check(*it);
        if (!valid[*it]) valid[u] = false;
    }
}

/*
 * dp[i][j]: 以节点i为根(必选i)的j个城堡的最大收益.
 * dp[i][0] = 0;
 */
void dfs(int u) {
    dp[u][0] = 0;
    if (!valid[u]) {
        return;
    }
    dp[u][1] = val[u];
    for (auto it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it) {
        dfs(*it);
        memcpy(dp2, dp[u], sizeof(int) * MAX);
        for (int j = 2; j <= m + 1; ++j) {
            //printf("check %d\n", j);
            for (int k = 1; k < j; ++k) {
                dp2[j] = max(dp2[j], dp[*it][k] + dp[u][j - k]);
            }
        }
        memcpy(dp[u], dp2, sizeof(int) * MAX);
    }
}

int main() {
    while (cin >> n >> m && n) {
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            G[i].clear();
        }
        int a, sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            cin >> a >> val[i];
            G[a].push_back(i);
            sum += val[i];
        }
        val[0] = sum + 1;

        memset(valid, true, sizeof(valid));
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        check(0);
        for (int i = 0; i <= n; ++i) {
            fill(dp[i], dp[i] + m + 2, -INF);
        }
        dfs(0);
        printf("%d\n", dp[0][m + 1] - sum - 1);
    }
    return 0;
}

$hdu3534$ Tree

• 题意：问一颗树的直径$d$为多少，以及树上有多少路径长度为$d$
• 首先此题没有给出数据范围，需要我们牺牲几次提交大概度量一下测试数据。检测发现，点数开到$10000$以上就足够了，所有边长度加起来不会超过$long\ long$，但会超过$int$范围。
• 考虑树上的某一最长路径，设该路径各点中离根最近的为$u$。当$u$就是根节点时，路径长度等于树的高度。当$u$不为根节点，则考虑以$u$为根的子树，最长路径就是$u$到其所有孩子中距离最大的和次大的。分情况讨论即可。
• 假设我们已经得出任何一点到其所有孩子中的最长距离$dis[u][0]$和次长距离$dis[u][1]$。则树的直径 $$d=longest=max\{dis[u][0]+dis[u][1]\}$$ 对任何一点$u$，维护一颗$map<long\ long,\ int>$记录已经检查完毕的孩子的最大长度以及对应的路径数目，假设已经检查完其前$c-1$个孩纸，当前检查第$c$个孩纸，最大长度$len‘$，那么只需要在$map$中查找是否存在$longest-len‘$的长度，如果存在，则组合一下，累加进答案即可。

/* **********************************************

  File Name: 3534.cpp

  Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

  Created Time: 2015年08月19日 星期三 13时59分25秒

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MAX = 10007;

struct Edge {
    int to;
    ll dis;
    Edge(int to = 0, int dis = 0): to(to), dis(dis) {}
};
vector<Edge> G[MAX];
map<ll, int> M[MAX];
ll dis[MAX][2];
ll longest;
int ans;
bool vis[MAX];

void dfs(int u) {
    vis[u] = true;
    for (auto it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it) {
        if (!vis[it->to]) {
            dfs(it->to);
            if (dis[u][0] < dis[it->to][0] + it->dis) {
                dis[u][1] = dis[u][0];
                dis[u][0] = dis[it->to][0] + it->dis;
            } else if (dis[u][1] < dis[it->to][0] + it->dis) {
                dis[u][1] = dis[it->to][0] + it->dis;
            }
        }
    }
    if (dis[u][0] + dis[u][1] > longest) {
        longest = dis[u][0] + dis[u][1];
    }
}

void dfs2(int u) {
    vis[u] = true;
    for (auto it = G[u].begin(); it != G[u].end(); ++it) {
        if (!vis[it->to]) {
            dfs2(it->to);
            int dis1 = M[it->to].rbegin()->first + it->dis;
            if (M[u].find(longest - dis1) != M[u].end()) {
                ans += M[u].find(longest - dis1)->second * M[it->to].rbegin()->second;
            }
            M[u][it->dis + M[it->to].rbegin()->first] += M[it->to].rbegin()->second;
            //printf("M[%d][%lld] += %d\n", u, it->dis + M[it->to].rbegin()->first, M[it->to].rbegin()->second);
        }
    }
    if (M[u].empty()) {
        M[u][0]++;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    while (cin >> n) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            G[i].clear();
            M[i].clear();
        }
        int u, v, len;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            cin >> u >> v >> len;
            G[u].push_back(Edge(v, len));
            G[v].push_back(Edge(u, len));
        }
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        memset(dis, 0, sizeof(dis));
        longest = 0LL;
        dfs(1);
        /*
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            printf("dis[%d] = <%lld, %lld>\n", i, dis[i][0], dis[i][1]);
        }
        */
        //cout << "longest = " << longest << endl;
        memset(vis, false, sizeof(vis));
        ans = 0;
        dfs2(1);
        if (M[1].find(longest) != M[1].end()) {
            ans += M[1].find(longest)->second;
        }
        cout << longest << ‘ ‘ << ans << endl;
    }
    return 0;
}