最长公共子序列定义

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）

flyfish 2015-8-20

假定我们有如下两个序列

$S_1$: 1 2 3 4 5 6
$S_2$: 4 5 6 7 8 9
$S_1$和$S_2$有一个最长公共子序列为 4 5 6
一个子序列不一定必须是连续的，即中间可以被其他字符分开，但它们的顺序必须正确的。
最长公共子序列不一定只有一个。

$S_1$: h e l l o
$S_2$: l e o n
$S_1$和$S_2$有一个最长公共子序列为 eo

《算法导论》的描述

子序列(subsequence)

A subsequence of a given sequence is just the given sequence with zero or
more elements left out.
一个给定序列的子序列就是该给定序列中去掉零个或者多个元素。

left out 忽视，不考虑；被遗忘
leave out的过去时或者被动语态 被遗忘，删掉等

公共子序列(common subsequence)
Given two sequences X and Y, we say that a sequence Z is a common subsequence of X and Y if Z is a subsequence of both X and Y
给定两个序列X和Y，如果Z既是X的一个子序列又是Y的一个子序列，则序列Z是X和Y的一个公共子序列。

最长公共子序列
X和Y的所有公共子序列中长度最长的公共子序列就是最长公共子序列。

Each subsequence of X corresponds to a subset of the indices {1，2，…，n} of X.
X has $2^{n}$ subsequences。
X的每个子序列对应于X的下标集合{1，2，…，n}的一个子集。X共有$2^{n}$个子序列。

为什么是$2^{n}$?
排列组合解释
Combination [k?mb?’ne??(?)n] 美 [,kɑmb?’ne??n]
组合数

Arrangement 英 [?’re?n(d)?m(?)nt] 美 [?’rend?m?nt]
排列数

排列
从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示。

$A_{n}^{m}$=n$(n-1)(n-2)...(n-m+1)$

$A_{n}^{m}$=$\frac{n!}{(n-m)!}$

组合
从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。

$C_{n}^{m}$=$\frac{(n-1)(n-2)...(n-m+1)}{m!}$

$C_{n}^{m}$=$\frac{n!}{m!(n-m)!}$

$C_{n}^{m}$=$C_{n}^{n-m}$

$(a+b)^{0}$=1

$(a+b)^{1}$=a+b

$(a+b)^{2}$=$a^2+2ab+b^2$

$(a+b)^{3}$=$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

…
$(a+b)^{1}$=$C_{1}^{0}$a+$C_{1}^{1}$b

$(a+b)^{2}$=$C_{2}^{0}a^2+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}b^2$

$(a+b)^{3}$=$C_{3}^{0}a^3+C_{3}^{1}a^2b+C_{3}^{2}ab^2+C_{3}^{3}b^3$

$(a+b)^{n}$当n为正整数时的展开式就是二项式定理(Binomial Theorem)

binomial 英 [ba?’n??m??l] 美 [ba?’nom??l]
adj. 二项式的；二种名称的
n. [数] 二项式；二种名称

theorem 英 [‘θ??r?m] 美 [‘θi?r?m]
n. [数] 定理；原理

二项式各项系数
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
…
形成了杨辉三角

$C_{n}^{r}$+$C_{n}^{r+1}$=$C_{n+1}^{r+1}$

a=1,b=1

$C_{n}^{0}$+$C_{n}^{1}$+$C_{n}^{2}$+…$C_{n}^{n}$=$2^n$