SPOJ PGCD - Primes in GCD Table (好题! 莫比乌斯反演＋分块求和优化)

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PGCD - Primes in GCD Table

Input:
2
10 10
100 100
Output:
30
2791

题目链接：http://www.spoj.com/problems/PGCD/

题目大意：1 <= x <= n，1 <= y <= m，求gcd(x, y)为素数的对数

题目分析：和前一题比只是多了一个上界，难度立马变大

学习了这篇博客才解决了这题http://www.cnblogs.com/iwtwiioi/p/4132095.html

为满足且和的的对数

为满足且和的的对数

 那么，很显然，反演后得到

因为题目要求是为质数，那么我们枚举每一个质数，然后得到

设T=pd，那么问题可以转换为：

将问题转换为枚举T得：

化简得

设

那么原式变成

那么我们只需要考虑如何计算g[x]即可！而且如果p不是质数或者p?T，那么g[x]=0

我们发现g[x]似乎可以在线性筛的时候预处理出？x=k×p,p为质数的情况，可得：

首先根据定义，此时

首先考虑p|k时，有kp质因子p的指数>=2

1、当p′=p，那么约掉后还剩下μ(k)

2、当p′≠p，那么p的质数>=2，根据莫比乌斯函数的定义，为0

因此式1+式2=μ(k)

考虑p?k时，有kp质因子p的指数=1

1、当p′=p，那么约掉后同样是μ(k)

2、当p′≠p，那么因为μ是积性函数，且p与kp′互质，那么得到μ(p)μ(kp′)，然后提出和式。因为μ(p)=?1，而和式内的和恰好就是g[k]的定义，因此这种情况的个数为?g[k]

因此式1+式2=μ(k)?g[k]

最后分块求和然后乘起来

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int const MAX = 1e7 + 5;
int mob[MAX], p[MAX], g[MAX], sum[MAX];
bool prime[MAX];

int Mobius()
{
    mob[1] = 1;
    int pnum = 0;
    for(int i = 2; i < MAX; i++)
    {
        if(!prime[i])
        {
            p[pnum ++] = i;
            mob[i] = -1;
            g[i] = 1;
        }
        for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)
        {
            prime[i * p[j]] = true;
            if(i % p[j] == 0)
            {
                mob[i * p[j]] = 0;
                g[i * p[j]] = mob[i];
                break; 
            }
            mob[i * p[j]] = -mob[i];
            g[i * p[j]] = mob[i] - g[i];
        }
        sum[i] = sum[i - 1] + g[i];
    }
}

ll cal(int l, int r)
{
    ll ans = 0;
    if(l > r)
        swap(l, r);
    for(int i = 1, last = 0; i <= l; i = last + 1)
    {
        last = min(l / (l / i), r / (r / i));
        ans += (ll) (l / i) * (r / i) * (sum[last] - sum[i - 1]);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    Mobius();
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        int l, r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        printf("%lld\n", cal(l, r));
    }
}

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原文地址：http://blog.csdn.net/tc_to_top/article/details/47804647