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【日常学习】【数学-其他】洛谷1403 约数研究题解

时间:2015-08-20 16:57:00      阅读:203      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:数学   日常学习   

于是又要迎来洛谷那凌然无言以对的题目摘要= =

洛谷1403 约数研究

本题地址: http://www.luogu.org/problem/show?pid=1403

题目描述

科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备,这使得空间站中大型计算机“Samuel2”的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩,小联允许用“Samuel2”进行数学研究。
小联最近在研究和约数有关的问题,他统计每个正数N的约数的个数,并以f(N)来表示。现在小联希望用“Samuel2”来统计f(1)到f(N)的累加和M。
f(n)表示n的约数个数,现在给出n,要求求出f(1)到f(n)的总和。

输入输出格式

输入格式:

输入一行,一个整数n

输出格式:

输出一个整数,表示总和

输入输出样例

输入样例#1:
3
输出样例#1:
5

说明

【数据范围】
20%N<=5000
100%N<=1000000

这道题直接枚举每个数的因数一定是超时的

我们不妨这样想:对于n=10,10以内的数中,因数包括1的有10/1个,包括2的有10/2个,包括3得有10/3个……

以此类推,只要按照这个规律累加即可

代码:

这就完了吗?还能更优吗?我们应该去思考更快的方法,不断追求更优是人类进步的源泉(严肃脸)。
里奥神犇给出的是另一种做法,更加高效省时,那就是数形结合。
考虑n的因数,我们画一条xy=n的双曲线,那么双曲线上所有整数点的横坐标即为n的整数因数。
由于双曲线的对称性(即以y=x为轴对称),我们如果只考虑一半,这一半曲线的横纵整数坐标即为n的因数。
对于<n的整数,其双曲线在xy=n下面。对于sigma(1-n的因数),实际上是覆盖了xy=n下面这一片面积所有的整数点。因此,我们只需要求出xy=n一半面积覆盖的整数点再乘2即可。注意,直线y=x上的点需要特殊处理。
我们枚举i从1到根号n,即双曲线被y=x分开的上面一半的所有横坐标,那么每个横坐标对应的点的个数为[n/i]-i+1 其中[n/i]表示n/i向下取整,也就是这一列双曲线下面的整数点数,而减去的i则是对称轴y=x下面的点。对称轴上的点最后乘二时算了两次,最后还要减去。
引用一下里奥神犇的代码
#include <cstdio>  
#include <algorithm>  //copyright by t14t41t
#define ll long long  
using namespace std;  
const int a[6] = {0, 1, 3, 5, 8, 10};  
ll f(int m)  
{  
    if(m <= 5) return a[m];  
    ll sum = 0;  
    int i;  
    for(i = 1; i * i <= m; ++i)  
    {  
        sum += m / i - i + 1;  
    }  
    return ((sum << 1) - i + 1);  
}  
int main()  
{  
    int n;  
    scanf("%d", &n);  
    printf("%lld\n", f(n));  
    return 0;  
}

至此,本题完美解决
我觉得我也该整理一下博客分类了

——岁暮阴阳催短景,天涯霜雪霁寒宵

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