标签:数学 日常学习
于是又要迎来洛谷那凌然无言以对的题目摘要= =
洛谷1403 约数研究
本题地址: http://www.luogu.org/problem/show?pid=1403
题目描述
科学家们在Samuel星球上的探险得到了丰富的能源储备,这使得空间站中大型计算机“Samuel2”的长时间运算成为了可能。由于在去年一年的辛苦工作取得了不错的成绩,小联允许用“Samuel2”进行数学研究。
小联最近在研究和约数有关的问题,他统计每个正数N的约数的个数,并以f(N)来表示。现在小联希望用“Samuel2”来统计f(1)到f(N)的累加和M。
f(n)表示n的约数个数,现在给出n,要求求出f(1)到f(n)的总和。
输入输出格式
输入格式:
输入一行,一个整数n
输出格式:
输出一个整数,表示总和
输入输出样例
输入样例#1:
3
输出样例#1:
5
说明
【数据范围】
20%N<=5000
100%N<=1000000
这道题直接枚举每个数的因数一定是超时的
我们不妨这样想:对于n=10,10以内的数中,因数包括1的有10/1个,包括2的有10/2个,包括3得有10/3个……
以此类推,只要按照这个规律累加即可
代码:
这就完了吗?还能更优吗?我们应该去思考更快的方法,不断追求更优是人类进步的源泉(严肃脸)。
里奥神犇给出的是另一种做法,更加高效省时,那就是数形结合。
考虑n的因数,我们画一条xy=n的双曲线,那么双曲线上所有整数点的横坐标即为n的整数因数。
由于双曲线的对称性(即以y=x为轴对称),我们如果只考虑一半,这一半曲线的横纵整数坐标即为n的因数。
对于<n的整数,其双曲线在xy=n下面。对于sigma(1-n的因数),实际上是覆盖了xy=n下面这一片面积所有的整数点。因此,我们只需要求出xy=n一半面积覆盖的整数点再乘2即可。注意,直线y=x上的点需要特殊处理。
我们枚举i从1到根号n,即双曲线被y=x分开的上面一半的所有横坐标,那么每个横坐标对应的点的个数为[n/i]-i+1 其中[n/i]表示n/i向下取整,也就是这一列双曲线下面的整数点数,而减去的i则是对称轴y=x下面的点。对称轴上的点最后乘二时算了两次,最后还要减去。
引用一下里奥神犇的代码
#include <cstdio>
#include <algorithm> //copyright by t14t41t
#define ll long long
using namespace std;
const int a[6] = {0, 1, 3, 5, 8, 10};
ll f(int m)
{
if(m <= 5) return a[m];
ll sum = 0;
int i;
for(i = 1; i * i <= m; ++i)
{
sum += m / i - i + 1;
}
return ((sum << 1) - i + 1);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%lld\n", f(n));
return 0;
}
至此,本题完美解决
我觉得我也该整理一下博客分类了
——岁暮阴阳催短景,天涯霜雪霁寒宵
版权声明:转载请注明出处 [ametake版权所有]http://blog.csdn.net/ametake欢迎来看
【日常学习】【数学-其他】洛谷1403 约数研究题解
标签:数学 日常学习
原文地址:http://blog.csdn.net/ametake/article/details/47808119