假设矩阵A为m*n矩阵:
1.矩阵的列秩为主元所在列的数目rank(A)，矩阵的零空间(即由Ax=0中所有x组成的空间)的秩为自由变量所在的列的数目n-rank(A)
2.矩阵的行秩等于列秩等于rank(A)，矩阵的左零空间(即由A^Tx=0中所有x组成的空间，T表示转置)的秩为m-rank(A)
Notice:理解子空间即是线性组合...
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2015-04-10 17:54:50
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在前面文章《矩阵的四个基本子空间》中提到：
一个秩为r，m*n的矩阵A中，其行空间和列空间的维数为r，零空间和左零空间的维数分别为n-r，m-r，并且有行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。
“掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山！”，MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢？我们首先从我们熟悉的正交向量说起。
1、正交向量...
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2014-11-16 12:06:59
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矩阵的四个基本子空间
1、零空间
矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合。假设矩阵的秩为r，矩阵为m*n的矩阵，则零空间的维数为n-r。因为秩为r，则自由变量的个数为n-r，有几个自由变量，零空间就可以表示层几个特解的线性组合，也即是零空间的维数为自由变量的个数。
2、列空间
矩阵A的列空间就是矩阵A中各列的线性组合。假设矩阵的秩为r，矩阵为m*...
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2014-11-10 12:04:48
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上一篇文章讲述了Ax=0的解和矩阵A的零空间，这里我们讨论Ax=b的解以及矩阵A的列空间。
Ax=0是肯定有解的，因为总存在x为全零向量，使得方程组成立。而Ax=b是不一定有解的，我们需要高斯消元来确定。我们还是利用上一篇讲述了Ax=0的解的矩阵A来举例说明：
我们可以得到上述方程组的增广矩阵(等式右侧不是全零向量，消元时值会改变，所以需要用增广矩阵)如下：
然后我们进行...
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2014-11-08 16:52:15
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矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合。
零空间的求法：对矩阵A进行消元求得主变量和自由变量；给自由变量赋值得到特解；对特解进行线性组合得到零空间。
假设矩阵如下：
对矩阵A进行高斯消元得到上三角矩阵U，继续化简得到最简矩阵R：
由于方程Ax=0的右侧是零向量，所以只对矩阵A进行消元不会影响解,因此不需要增广矩阵，所以有：
从上面的高斯消元的结果可以看出，矩阵...
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2014-10-13 11:27:46
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