归纳数学常识提高运算速度

①当$x\in(0，1)$时，$\cdots< x^4< x^3< x^2< x <1$；此时与幂函数有关。幂函数图像
②“$a>b$”是“$a^2>b^2$”的既不充分也不必要条件，和函数$y=x^2$的单调、奇偶有关；
“$a>b$”是“$|a|>|b|$”的既不充分也不必要条件，和函数$y=|x|$的单调性和图像有关；
“$a>b$”是“$a^3>b^3$”的充要条件，和函数$y=x^3$的单调性有关；
“$a>b$”是“$\sqrt{a}>\sqrt{b}$”的必要不充分条件，和函数$y=\sqrt{x}$的单调性和图像有关；
③复合函数的求导
④不等式性质$a>b,ab>0\Rightarrow \cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}$，其实与函数$y=\cfrac{1}{x}$有关；
$a>b，ab>0$其实包含两种情形：$a>b>0$和$0>a>b$；
由函数$y=\cfrac{1}{x}$的图像或者单调性都可以很容易得到$\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}$，当然我们由$a < 0< b$也可以得到$\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}$。
⑤对于函数$f(x)，x\in D$，若存在$x_1，x_2\in D$，使得$f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)$恒成立，
则$f(x_1)=f(x)_{min}$，$f(x_2)=f(x)_{max}$，且$x_1，x_2$分别是最小值点和最大值点。
⑥奇偶性：$f(-x)+f(x)=0$，奇函数；$f(-x)-f(x)=0$，偶函数；
多项式函数$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$为奇函数的充要条件是偶次幂项的系数为零，即$a=c=e=0$
多项式函数$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$为偶函数的充要条件是奇次幂项的系数为零，即$b=d=0$
⑦单调性：$\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$，则$f(x)$为增函数；$\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<0$，则$f(x)$为减函数；
⑧周期性：$f(x+a)=-f(x)$，则$T=2a$；$f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)$，则$T=2a$；
⑨对称性：$f(2-x)+f(x)=4$，则函数关于点$(1，2)$对称；$f(4-x)-f(x)=0$，则函数关于直线$x=2$对称；
⑩熟记结论：$t=\sqrt{x}+1$，则$t\ge 1$；$t=x+\cfrac{1}{x}$，则$|t|\ge 2$；$t=sinx+cosx$，则$t\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]$；

①能转化为恒成立问题的素材：全称命题，定义域为$R$的问题，不等式解集为$R$或者区间$[a，b]$；
能转化为能成立问题的素材：特称命题，不等式有解问题，
②解不等式中常用的因式分解：$ab+1>a+b\Leftrightarrow (a-1)(b-1)>0\Leftrightarrow (1-a)(1-b)>0$；
$x^2-(a^2+a)x+a^3=(x-a^2)(x-a)$；$ax^2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)$；
③已知$x>y>z$，且$x+y+z=0$，则可知$x>0$，$z<0$，$y$值不能确定。
由此我们可知，在$\Delta ABC$中，最大的内角不小于$60^{\circ}$；最小的内角不大于$60^{\circ}$；
④$x\in(0，\cfrac{\pi}{2})$，则$sinx < x < tanx$；$1< sinx+cosx \leq \sqrt{2}$；$|sinx|+|cosx|\ge 1$；
⑤在锐角三角形中，$sinA > cosB$；$sinB > cosC$；$sinC >cosA$；
⑥$A >\cfrac{\pi}{2}-B$，即$sinA > sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB$，其余同理；
$sinA+sinB+sinC > cosA+cosB+cosC$
⑦若$A、B$是钝角三角形的两个锐角，则有$sinA < cosB$；$cosA > sinB$；
⑧对$\forall x\in R，x^2 \pm x+1>0$恒成立；比如解不等式$ln^2(lnx)-ln(lnx)+1>0$，
令$ln(lnx)=t$，则转化为$t^2-t+1>0$，故$t=ln(lnx)\in R$，即解集为$\{x\mid x>0\}$
⑨恒成立模型：已知$x\in D$，$f(x)\ge A$恒成立$\Leftrightarrow f(x)_{min}\ge A$；
$x\in D$，$f(x)\leq A$恒成立$\Leftrightarrow f(x)_{max}\leq A$；
⑩能成立模型：已知$x\in D$，$f(x)\ge A$能成立$\Leftrightarrow f(x)_{max}\ge A$；
$x\in D$，$f(x)\leq A$能成立$\Leftrightarrow f(x)_{min}\leq A$；
⒒不等式证明中比较常用的不等关系：$e^x\ge x+1$；$x-1\ge lnx$；
⒓若$(x-1)^2\leq 0$，则有$x=1$；若$|x-2|\leq 0$，则有$x=2$；则$B=\{x\mid x^2-1<0\}=\varnothing$
⒔⒕

①在$\Delta ABC$中，三个内角$A、B、C$成等差数列，则$B=\cfrac{\pi}{3}$。
②在数列章节中，先不做计算，保持数列的项的形很重要，
比如$a_1=1，a_2=1+2，a_3=1+2+3，a_4=1+2+3+4$，
不做计算，就很方便观察归纳$a_n=1+2+\cdots+n$；
③常用的运算公式还有$1-q^6=1-(q^3)^2=(1+q^3)(1-q^3)$；
$1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)$；$1-q^2=(1-q)(1+q)$；
④当涉及等比数列的$S_n$时，若下标$n$比较小的时候，我们常常使用定义式求解而不是用公式，
比如已知等比数列的$S_n=8$，则可知$a_1+a_2+a_3=8$，这样可以有效的避免分类讨论，
而不是利用$\cfrac{a_1(1-q^3)}{1-q}=8$来计算，
如果非要利用这个公式，你就必须先分类讨论排除$q\neq 1$，否则使用就是错的。
⑤设等比数列$\{a_n\}$的前$n$项的和为$S_n$，若$\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}$，则$\cfrac{S_9}{S_6}$=？
分析：引入比例因子，设$\cfrac{S_6}{S_3}=\cfrac{1}{2}=\cfrac{k}{2k}(k\neq 0)$，
则$S_6=k$，$S_3=2k$， $S_6-S_3=-k$，
由$S_3，S_6-S_3，S_9-S_6$成等比数列，
可知$S_9-S_6=\cfrac{k}{2}$，则$S_9=\cfrac{3k}{2}$， 故$\cfrac{S_9}{S_6}=\cfrac{\frac{3k}{2}}{2k}=\cfrac{3}{4}$。
同时注意整体运算，比如给定等比数列$\{a_n\}$的公比为$q=2$，求$\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}$的值。
由题目可知，$\cfrac{a_8+a_9+a_{10}}{a_5+a_6+a_7}=\cfrac{(a_5+a_6+a_7)\cdot q^3}{a_5+a_6+a_7}=q^3=8$
⑦形如$a_{n+1}-a_n = k\cdot a_{n+1}\cdot a_n$，($k$为常数)，
等式两边同除以$a_{n+1}\cdot a_n$，变形得到$\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{1}{a_n}=-k$，即构造了等差数列$\{\cfrac{1}{a_n}\}$；
⑧在数列题目中，若出现各项为正数或各项均不为$0$，则必有$a_n>0$，
也有$a_n+a_{n+1}>0$，或者$a_n+a_{n-1}>0$，这样就为约分埋下了伏笔。
比如某个题目变形得到$(a_n+a_{n-1})(a_n-a_{n-1})=a_n+a_{n-1}$，约掉$a_n+a_{n-1}$，得到$a_n-a_{n-1}=1$，即$\{a_n\}$是等差数列。
若出现证明数列$\{a_n+1\}$为等比数列，则你必须意识题目已经给了变形的提示，因为变形到最后必然会出现$a_n+1=p(a_{n-1}+1)(p为常数)$，
或者出现同类型的$a_{n+1}+1=p(a_n+1)(p为常数)$，这样你往上回溯，自然就会看到题目应该怎么变形了。

$sin15^{\circ}=cos75^{\circ}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$；$sin75^{\circ}=cos15^{\circ}=\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$；$tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}$；$cot15^{\circ}=2+\sqrt{3}$；
三角形的三个内角之比为$1：1：1(60^{\circ}，60^{\circ}，60^{\circ})$；$1：2：1(45^{\circ}，90^{\circ}，45^{\circ})$；$1：2：2(36^{\circ}，72^{\circ}，72^{\circ})$；$1：3：1(36^{\circ}，108^{\circ}，36^{\circ})$；$1：4：1(30^{\circ}，120^{\circ}，30^{\circ})$；
①常用的勾股数：$3n，4n，5n(n\in N^*)$；$5，12，13$；$7，24，25$；$8，15，17$；$9，40，41$；
②连比形式或比例形式，可以引入非零比例因子简化运算：
如三角形的三边之比为$a：b：c=2：3：4$，则可以设$a=2k，b=3k，c=4k(k>0)$；
同样的思路也可以用到圆锥曲线中，
比如已知离心率$e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}$，则可知$c=\sqrt{3}t，a=t(t>0)$ ，则有$b=\sqrt{2}t$；
再如$\Delta ABC$中，给定$\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}$，
若令$\cfrac{a}{cosA}=\cfrac{b}{cosB}=\cfrac{c}{cosC}=k$，
则有$cosA=\cfrac{a}{k}$，$cosB=\cfrac{b}{k}$，$cosC=\cfrac{c}{k}$，
再结合$sinA=\cfrac{a}{2R}$，$sinB=\cfrac{b}{2R}$，$sinC=\cfrac{c}{2R}$，
故有$tanA=tanB=tanC=\cfrac{k}{2R}$，故$A=B=C=\cfrac{\pi}{3}$。
③需要我们烂熟于心的三角变形
$sin\theta\pm cos\theta=\sqrt{2}sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})$；
$\sqrt{2}sin\theta\pm \sqrt{2}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})$；
$\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})$；
$\cfrac{1}{2}sin\theta\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})$；
$\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})$；
$sin\theta\pm\sqrt{3}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})$；
④三角函数中的弦切互化
$\cfrac{2sin\theta+3cos\theta}{sin\theta-2cos\theta}\xlongequal[转化为关于tan\theta的一元函数]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{2tan\theta+3}{tan\theta-2}$(弦化切，二元化一元)；
$\cfrac{2sin^2\theta+3cos^2\theta}{sin^2\theta-2cos^2\theta}\xlongequal[转化为关于tan\theta的一元函数]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan^2\theta+3}{tan^2\theta-2}$(弦化切，二元化一元)
$tan\theta=\cfrac{sin\theta}{cos\theta}\xlongequal[转化为二元函数]{分子分母同乘以2cos\theta}$
$=\cfrac{2sin\theta cos\theta}{2cos\theta cos\theta}=\cfrac{sin2\theta}{1+cos2\theta}$(切化弦，一元化二元)；
$tan\theta=\cfrac{sin\theta}{cos\theta}\xlongequal[转化为二元函数]{分子分母同乘以2sin\theta}$
$=\cfrac{2sin\theta sin\theta}{2cos\theta sin\theta}=\cfrac{1-cos2\theta}{sin2\theta}$(切化弦，一元化二元)
⑤当涉及$y=Asin(\omega x+\phi)+k$型函数，需要做其图像时，如果将$\omega x+\phi$这个整体作为横轴，
比将$x$作为横轴要节省大量时间，但是要注意有些题目却要求横轴是$x$轴，比如单调区间类的题目。
⑥高考的三角函数解答题中， 若是与求三角形的周长问题，
一般都是给定了或者必定能求解得到一组对边(比如$a$)和对角($A$)，
这时$2R$就相当于已知了。$\cfrac{a}{sinA}=2R$。

①由单位圆$x^2+y^2=1$可知，$0< y <\sqrt{1-x^2}$指$x$轴上方的单位圆的内部。
由椭圆$\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1$可知，$0< y <\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}$指$x$轴上方的椭圆内部。
②图像变换、函数与方程等章节中常用的函数：
$y=|x|$；$y=a^{|x|}(a >1)$；$y=a^{|x|}(0< a <1)$；$y=|x^2-2x-4|$
$y=lg|x|$；$y=|lg|x||$；$y=|lgx|$；
$y=x\cdot lnx$，$y=\cfrac{lnx}{x}$，$y=e^x+e^{-x}$；
$y=x\cdot e^x$，$y=\cfrac{e^x}{x}$，
注意以下函数中的参数$a$的作用；
$y=a\cdot x^2$；$y=a\cdot |x|$；$y=a\cdot e^x$；$y=a\cdot lnx$
常见的奇函数：
$f(x)=kx$；$f(x)=x^3$；$f(x)=x^k(k为奇数)$；$y=Asin\omega x$；$y=e^x-e^{-x}$；$y=ln\cfrac{x+1}{x-1}$；
常见的偶函数：
$f(x)=x^2$；$y=k|x|(k\in R)$；$y=e^{|x|}$；$f(x)=x^k(k为偶数)$；$y=Acos\omega x$；$y=e^x+e^{-x}$；
③函数$f(x)=x\pm sinx$单调递增，因为$f‘(x)=1\pm cosx\ge 0$；
函数$f(x)=x\pm cosx$单调递增，因为$f‘(x)=1\pm sinx\ge 0$。
④函数$y=x$与函数$y=sinx$只有一个交点。
函数$y=2^x$与函数$y=x^2$在$x\in R$上时有三个交点；
函数$y=2^x$与函数$y=x^2$在$x >0$时有两个交点$(2，4)和(4，16)$；
它们各自的反函数$y=log _2\;x$与$y=\sqrt{x}$在$x>0$时有两个交点$(4，2)和(16，4)$；
⑤$log_2^a=\cfrac{1}{log_a^2}$；
$log_ab\cdot log_bc \cdot log_cd=log_a d$；
$-ln\cfrac{x-1}{x+1}=ln\cfrac{x+1}{x-1}$；
⑥已知函数$f(x)=|lgx|$，若 $0< a < b$且$f(a)=f(b)$，则得到$0< a < 1 < b$，
且$f(a)=|lga|=-lga$，$f(b)=|lgb|=lgb$，故由$f(a)=f(b)$得到，
$-lga=lgb$，即$lga+lgb=0=lg1$，故$ab=1$或者$b=\cfrac{1}{a}$；
⑦含有对数的函数的奇偶性判断，利用$f(-x)+f(x)=0$要简单一些，
比如$f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}$，$f(-x)=ln\cfrac{1-x}{1+x}$，
则$f(x)+f(-x)=ln1=0$，故$f(x)=ln\cfrac{1+x}{1-x}$为奇函数。
⑧$a^2-3ab+2b^2=0\Rightarrow(\cfrac{a}{b})^2-3(\cfrac{a}{b})+2=0$
⑨做函数图像时，如果里面含有$e^x$和$lnx$时，则作图时除要特别注意单调性以外，
还得注意函数值的正负以及特殊点。 如函数$y=x\cdot e^x$的图像，我们容易利用导数求出函数在$(-\infty，-1)$上单调递减，
在$(-1，+\infty)$上单调递增，且函数过原点；
但是在做草图时，很容易错误的画成如右图的红色虚线，
其实正确图像应该是图中的蓝色图像，
其中在区间$(-\infty，-1)$上，函数的值应该是负值。

①直线$y=kx+1$恒过定点$(0，1)$；
②函数$y=2^{x-a}$恒过定点$(a，1)$；函数$y=log_2^\;{(x-a)}$恒过定点$(a+1，0)$；
③函数$y=a\cdot |x|$恒过定点$(0，0)$；函数$y=a\cdot x^2$恒过定点$(0，0)$；
④函数$y=a\cdot x^2+1(a>0)$恒过定点$(1，0)$；$a$的作用会改变抛物线的张角大小。
⑤函数$y=a\cdot e^x(a>0)$不恒过定点$(1，0)$；
⑥函数与导数题型中的恒过定点问题，
比如函数$g(x)=lnx+1-x$，我们应该看出来$g(1)=0$；
再比如函数$g(x)=ln(x-1)+2-x$，我们应该看出来$g(2)=0$；
再比如已知$\lambda(x-1)-2lnx \ge 0$对任意$x\in(0，1]$恒成立，若令$h(x)=\lambda(x-1)-2lnx$，你就应该看出来$h(1)=0$
再比如函数$h(t)=2e^{t-\frac{1}{2}}-\cfrac{1}{t}$，则$h(\cfrac{1}{2})=0$
⑦

①$35^2=3\times 4|5\times5=1225$； $x^2=|x|^2$；$\vec{a}^2=|\vec{a}|^2$
②有关不等式混合组的运算，有时候验证比运算来得快，
比如$\begin{cases}x=2①\\x^2-3x+2\leq 0②\end{cases}$，一般我们是求解②式，和①式求交集，
不妨将①代入②式验证，要快得多，解集为单元素集$\{2\}$。
再比如，求解不等式组，$\begin{cases}x\ge0①\\1-2^{-x}<-\cfrac{1}{2}②\end{cases}$，
即$\begin{cases}x\ge0①\\2^{-x}>\cfrac{3}{2}②\end{cases}$，
若求解很麻烦，直接将①代入②验证，得到解集为$x\in\varnothing$。
再比如，某问题转化为解方程$\cfrac{-2}{m-1}+\cfrac{3}{m+1}=0$，如果是解答题或填空题求解$m$的值，我们只能求解；
若是在$3、4、5、6$中选择$m$的值，我们用代值验证法要快得多。
③相关性检验的$K^2$的计算中，先化简，后计算。
比如$K^2=\cfrac{105\times(10\times30-20\times45)^2}{55\times 50\times30\times75}$
$=\cfrac{21\times(300-900)^2}{11\times 50\times30\times75}$
$=\cfrac{21\times600\times600}{11\times 50\times30\times75}$
$=\cfrac{21\times12\times20}{11\times 1\times 1\times75}$
$=\cfrac{7\times12\times20}{11\times 1\times 1\times25}$
$=\cfrac{7\times12\times4}{11\times 1\times 1\times5}$
$=\cfrac{336}{55}=6.11$
④数乘到式乘 ，如右图。
⑤设点技巧：
如圆$x^2+y^2=R^2$，
则圆上任一点坐标可设为$(x，y)$，也可设为$(R\cdot cos\theta ，R\cdot sin\theta)$；
椭圆$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$，
则椭圆上任一点坐标可设为$(x，y)$，也可设为$(a\cdot cos\theta ，b\cdot sin\theta)$；
再比如抛物线$y^2=4x$上任一点可设为$(4t^2，4t)$
⑥设数技巧，三个数成等差数列，设为$a-d，a，a+d$；
三个数成等比数列，设为$\cfrac{a}{q}，a，aq$；
⑦解方程时两边能约分的，先约分再化简，能提高解题速度和准确度。
比如用余弦定理解题时有个方程是这样的：
$(60t)^2=80^2+40^2-2\times 80\times 40\times cos120^{\circ}$，
先化简得到$3600t^2=6400+1600+3200$，
再化简得到$36\not{0}\not{0}t^2=64\not{0}\not{0}+16\not{0}\not{0}+32\not{0}\not{0}$，
两边再约去$4$，得到$9t^2=16+4+8$，
此时口算都能得到$9t^2=28$，即$t=\cfrac{2\sqrt{7}}{3}$。
⑧平均数的计算技巧
比如计算一组数据$515，521，527，531，532，536，543，548，558，559$的平均数。
$\bar{x}=500+\cfrac{15+21+27+31+32+36+43+48+58+59}{10}=537$；
$\bar{x}=540+\cfrac{-25-19-13-9-8-4+3+8+18+19}{10}=540+\cfrac{-30}{10}=537$；
⑨关于指数对数的运算
⑩解绝对值方程，$|k+4|-|k|=2$，
先移项得到$|k+4|=2+|k|$，再两边平方，
得到$|k|=2k+3$，再平方，得到$k^2+4k+3=0$
解得$k=-1$或$k=-3$
检验得到，$k=-3$舍去，故$k=-1$(注意，一旦平方可能扩大范围，造成增根，故要想到检验)

弦长公式：
$ |AB|\xlongequal[韦达定理]{直角坐标系下}|x_1-x_2|\sqrt{1+k^2}= \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\sqrt{1+k^2}$
$|AB|\xlongequal[极角相同]{极坐标系下}|\rho_1-\rho_2|$
$|AB|\xlongequal[参数的几何意义]{参数方程下}|t_1-t_2|$
圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，待整理

常见的古典概型：

1、高中数学中常用的数学方法都有哪些？
2、高中数学中常用的高频变形都有哪些？
3、高中常用的数学思想都有哪些？都在什么时候用？
4、与数学自身有关的思想有：函数与方程思想、数形结合思想；
与数学自身关系不是很紧密的思想有：分类讨论思想、转化划归思想(变量集中)；
与哲学有关的思想：特殊与一般思想(部分与整体)、有限与无限思想；
与自然生活有关的思想：或然与必然思想；
陕西数学教科所副主任 马亚军总结
5、