Burnside引理与Polya定理Burnside引理与Polya定理是有关组合数学的两条十分重要的定理（引理）,但是网上的一些资料大多晦涩难懂或者与实际并不相关联，因此在这里做一些浅显的解读，希望通过此文章可以让这两条定理（引理）能够发挥其作用。PS:引理与定理的区别:Ψ引理是数学中为了取得某个更好的定理而作为步骤被证明的命题,其意义并不在于自身被证明,而在于为达成最终定理作出贡献.
Ψ一个引...
分类：
其他好文 时间：
2015-07-26 17:28:20
阅读次数：
183
【解析】Burnside引理+背包dp+乘法逆元
[Analysis]
这道题卡了好久，就是没想懂置换跟着色是不一样的。
根据burnside引理，在一个置换群作用下不等价类的个数为每个置换作用下不动点个数的平均数。
在这道题中：
置换的对象 ——
每个状态，标号为1—N（这里的N不是题目的N，而是状态的个数）。
不动点 ——
前后染色状态完全相同的状态的个数。
...
分类：
其他好文 时间：
2015-07-22 22:48:48
阅读次数：
199
Description 小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明....
分类：
其他好文 时间：
2015-04-08 14:37:52
阅读次数：
127
题目链接：BZOJ - 1004题目分析首先，几个定义和定理引理：群：G是一个集合，*是定义在这个集合上的一个运算。如果满足以下性质，那么(G, *)是一个群。1）封闭性，对于任意 a, b 属于 G， a * b 属于 G2）结合律， a * b * c = a * (b * c)3）单位元，在 ...
分类：
其他好文 时间：
2015-02-25 15:32:12
阅读次数：
192
题目大意：给出一个置换群，求有多少种本质不同的染色方案。
思路：Burnside引理：置换群的等价类数目=所有置换的不动点数目的平均值。
有了这个引理，我们只需要求出所有不动点的数目求一个平均值就可以的到等价类的数目了。
要使一种染色的方案在一种置换的意义下是不动点，需要让这个置换的每个循环节中的颜色都相同。先求出所有置换的循环，然后用一个背包就可以初解了。最后乘法逆元搞一下除法。
...
分类：
其他好文 时间：
2015-01-23 09:34:44
阅读次数：
213
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1004学习了下polya计数和burnside引理，最好的资料就是：《Pólya 计数法的应用》 --陈瑜希burnside：$$等价类的个数=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{s}D(...
分类：
其他好文 时间：
2014-11-22 13:10:24
阅读次数：
196
题目大意：给定n张卡牌和m个置换，求等价类个数
数据保证这m个置换加上自身置换后构成一个置换群
BZOJ坑爹0.0 这么重要的条件不给出来尼玛怎么做
Burnside引理……昨晚为了做这题硬啃了一晚上白书0.0 都快啃吐了0.0
Burnside引理：一个置换群下的等价类个数等于所有置换的不动点个数的平均值
没有接触过群论的建议去啃白书…… 网上的东西看不懂的
最后那个除法要用乘法逆元...
分类：
其他好文 时间：
2014-10-17 09:24:04
阅读次数：
261
这道题是各种数论搞在一起的题目。。。首先由burnside引理可以知道答案是ans = (G^sigma(C(n, d))) % MOD然后由费马小定理，ans = (G^（sigma(C(n, d)) % (MOD - 1)）) % MOD之后把MOD - 1分解为2 * 3 * 4679 * 3...
分类：
其他好文 时间：
2014-09-28 20:04:05
阅读次数：
171
设G是一个集合，*是G上的二元运算，如果(G,*)满足下面的条件：封闭性：对于任何a,b∈G,有a*b∈G;结合律：对任何a,b,c∈G有(a*b)*c=a*(b*c);单位元：存在e∈G,使得对所有的a∈G,都有a*e=e*a=a;逆元：对于每个元素a∈G,存在x∈G,使得a*x=x*a=e,这个...
分类：
其他好文 时间：
2014-05-13 10:16:38
阅读次数：
349
