定义与性质 \(\tt Prufer\) 序列用于建立起有标号无根树 / 有根树与序列的双射关系。 考虑对于一颗有标号无根树按如下方式生成一个长度为 \(n - 2\) 的序列（特别地，我们不考虑 \(n = 1\) 的情况）： 找到树中的叶子节点当中编号最小的节点，将其在树上连接的点写在序列末尾， ...
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2021-04-19 16:05:35
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XVI.「SWTR-03」Counting Trees 说起来他们那场比赛还找我帮忙验了这题来着的，然后我$50%$暴力都不会 先说结论：任何度数之和等于$2m-2$的$m$个节点，都可以构成至少一颗树。该结论可以通过一个名叫prufer序列的神奇玩意证出。 于是我们现在就有这样的判别式： \(\s ...
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2021-04-02 13:17:18
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prufer序列 Prufer数列是无根树的一种数列。在组合数学中，Prufer数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列， 点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2。 对于一棵确定的无根树，对应着唯一确定的prufer序列 prufer序列的构造 无根树转化为 prufer 序列 找到编号 ...
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2020-10-27 11:13:05
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$\text$序列，是树与序列的一种双射。 ##构建过程： 每次找到一个编号最小的叶子节点$Leaf$,将它删掉，并将它所连接的点的度数$-1$,且加入$\text$序列。 重复上述步骤，直到只剩下两个点。 ##实现： 考虑如何实现。 最朴素的显然每次暴力找，复杂度$O(n^2).$显然不够优秀。 ...
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2020-06-21 18:13:00
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矩阵树就是指计算一个图生成树的个数（无论有没有环，边带不带权，有向或无向，指不指定根节点，外向树或内向树，都可以计算） 在此之前，我们引入一个问题： 问题1：给定一个n个节点的完全图，求其生成树个数。 这个问题，简单的prufer序列就可以解决，显然，答案是$n^{n-2}$。 一次升级版： 问题2 ...
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2020-06-13 21:26:17
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BSOJ在哪我也不知道 没有链接. 对于有标号无根树的统计和有度数限制 一般采用prufer序列。 根据prufer序列 容易知道 某个点的出现次数+1为当前点的度数。 对于这道题 考虑设f[i][j]表示前i个点填了prufer序列j个位置时的方案数。 不过这样做存在的问题是 最后我们要求恰好k个 ...
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2020-05-06 11:52:06
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参考了：Matrix67 - 经典证明：Prüfer编码与Cayley公式 是一种挺有意思的转化 ~ Prufer编码 ~ Prufer编码，是一种对于带标号无根树的编码，使得一个Prufer序列$p$能够唯一对应一棵带标号无根树，且不重不漏 编码方式是这样的： 对于一棵$n$个节点的带标号无根树（ ...
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2020-04-04 09:38:11
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给定 $n$ 个点 $k$ 棵树的森林，第 $i$ 棵树的大小为 $s_i$，要求加入 $k 1$ 条边，使之连通，求方案数。 设第 $i$ 棵树的度数为 $d_i$，则对于给定 $d_1,d_2,\cdots,d_k$，根据 prufer 序列 ，进行可重集排列 $$ \begin{pmatrix ...
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2020-02-15 13:32:00
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"Link" 下文中的点指的是题目给的$n$个连通块。 因为题目给的式子只与度数和点权相关，因此考虑Prufer序列。 枚举每个点在Prufer序列中的出现次数，那么此时的贡献就是Prufer序列的个数乘上该生成树的价值。 $ans=(n 2)!\sum\limits_{\sum d_i=n 2}\ ...
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2020-02-04 22:00:30
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"Link" 看到全是度数相关的计数就可以考虑Prufer序列。 一个点的度数就是其在Prufer序列中的出现次数$+1$，而一个Prufer序列的贡献就是其所有元素出现次数$+1$的乘积，我们可以把乘积拆开dp。 设$f_{x,i}$表示考虑前$x$个点，Prufer序列长度为$i$的答案之和。 ...
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2020-02-03 22:54:24
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