1. 陪集 现在继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先根据子群的判定条件，如果\(H,K\leqslant G\)，则很容易有\(H\cap G\leqslant G\)。那么\(H\cup G\)呢?当然这里\(H,K\)都是真子群，并且不互相包含。从\(H\)中取元....
分类：
其他好文 时间：
2015-05-10 01:01:23
阅读次数：
171
1. 代数系统1.1 运算律 我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数\(f:A\mapsto A\)也被称为集合\(A\)上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合\(A\)上的\(n\)....
分类：
其他好文 时间：
2015-05-09 19:03:20
阅读次数：
275
在一般人的印象中，数学就是用来计算的，这种说法笼统讲也没有错，因为大部分的数学应用都是为了得到某个值。但如果深入到数学对象这个角度，计算有时并不是主角。最简单的例子就是大家熟悉的平面几何，它很多时候只是在研究点线之间的“关系”。代数学刚开始被用作计算的符号表示，但随着其使用范围的扩大，人们发现它.....
分类：
其他好文 时间：
2015-05-09 13:21:11
阅读次数：
114
在理解Functor之前，必须对抽象代数的范畴论有所了解，有范畴论的知识作为铺垫，感觉Functor也不是那么的难以理解了。 一个范畴C包括： ?一个由对象所构成的类ob（C) ?对象之间的态射所构成的类hom（C)。每一个...
分类：
其他好文 时间：
2015-03-09 21:03:05
阅读次数：
138
算数(arithmatic): 代数(algebra)： 初等代数(elementary algebra)： 抽象代数(abstract algebra) 几何(geometry) 数论(number thoery) 群(group) 环(ring)：一个代数结构，定义了广义化的算数加和乘运算 域(fiel...
分类：
其他好文 时间：
2014-10-16 19:14:13
阅读次数：
227
习题：5.设$G$为循环群,$N$,那么不难证明$$G/N=.$$6.设$a,b$分别为群$G$中的$m,n$阶元素,且满足$$ab=ba,\cap=\{e\}$$证明:$ab$的阶为$[m,n]$.证明 设$ab$的阶为$d$,由于$$(ab)^{[m,n]}=a^{[m,n]}b^{[m,n]....
分类：
其他好文 时间：
2014-07-19 20:28:32
阅读次数：
528
习题：2.设$R$是无零因子环,只有有限个元素但至少有两个元素.证明$R$是体.证明 只需说明$\{R^*;\cdot\}$构成群即可.由于$R$是环,因此$\{R^*;\cdot\}$构成有限半群;此外$R$无零因子,所以$\{R^*;\cdot\}$满足左右消去律,从而$\{R^*;\cdot....
分类：
其他好文 时间：
2014-07-19 09:26:43
阅读次数：
773
习题4.证明：置换群$G$中若含有奇置换，则$G$必有指数为$2$的子群.证明 易知$G$中若有奇置换，则奇偶置换各半.不妨设$G$的偶置换为$${\rm id}=\sigma_{1},\sigma_{2},\cdots,\sigma_{m}$$而奇置换$\phi_{1},\cdots,\phi_....
分类：
其他好文 时间：
2014-07-18 09:28:39
阅读次数：
521
习题：4.证明指数为$2$的子群必正规.证明 设$G$为群且$H$为循环群,从而其任一子群$H$也必为循环群,因此存在$m\in\mathbb Z$使得$$H==m\mathbb Z$$由于循环群是后面的内容，此处也可用另一方法：若$H=\{0\}$,那么结论显然；若$H\neq\{0\}$,则考....
分类：
其他好文 时间：
2014-07-16 18:20:18
阅读次数：
519
习题：7.请把定理1.4.10改写成更一般的语言来叙述,第一句是:"设$f$是群$G_{1}$到$G_{2}$的满同态,且$H<G_{1}$,并记$N={\rm Ker}f$,则……"解答 与该定理类似的我们有：(1)$HN$是$G_{1}$中包含$N$的子群且$$HN=f^{-1}(f(H))$....
分类：
其他好文 时间：
2014-07-16 18:18:25
阅读次数：
637
