1. 正规扩域 在研究域\(F\)的代数扩张\(E\)时，首要的前提是扩域\(E\)是存在的，其次还要让所有扩域在同一个空间，即它们之间是可运算的。满足这样条件的空间便是\(F\)的代数闭包，使用集合论的语言，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代....
分类：
其他好文 时间：
2015-09-10 15:43:29
阅读次数：
150
1. 素域和单扩域1.1 素域 域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若\(F\)是\(E\)的子域，\(E\)也叫\(F\)的扩域或扩张。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最....
分类：
其他好文 时间：
2015-09-10 08:26:27
阅读次数：
520
1. 因子分解1.1 唯一分解环 环的直和分解将大环分解为小环，使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发，我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论，还需对环作一些限制。既然我们关注是因子，乘法顺序就显得多余且碍事，所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的....
分类：
其他好文 时间：
2015-09-10 01:48:22
阅读次数：
233
1. 同态与理想 同态定理和正规子群在分析群的结构中起到了重要的作用，我们可以对环进行同样的讨论。若环\(R_1\)到另一个系统\(R_2\)有映射\(f:R_1\mapsto R_2\)，满足公式（1），这样的映射称为同态映射。若映射为满的，则称\(R_1,R_2\)同态，记作\(R_1\sim....
分类：
其他好文 时间：
2015-09-09 19:35:41
阅读次数：
221
抽象代数不是为了抽象而抽象，它所研究的代数系统都有着广泛的实例原型。群论的学习中我们已经看到很多系统同时存在着两个运算，而且它们是相互关联的，这就迫使我们来研究这种代数系统的结构和特点。从另一方面看，运算之间的互相牵连也会导致单个运算的特殊性质，你将会在后面的讨论中看到这一点。1. 环1.1 环.....
分类：
其他好文 时间：
2015-09-09 13:25:39
阅读次数：
226
在抽象代数中我们知道有一个（左）群作用的概念。简单复习一下，一个群（或半群）G 作用到一个一般的集合 X 上去，指的是一个满足一定条件的映射 $ \phi :G \times X \to X $ . 这也可以看成是群（或半群）里的任何一个元素 $ g \in G $ 都诱导了一个 X 上的变换 $....
分类：
其他好文 时间：
2015-05-20 07:07:09
阅读次数：
183
在一般人的印象中，数学就是用来计算的，这种说法笼统讲也没有错，因为大部分的数学应用都是为了得到某个值。但如果深入到数学对象这个角度，计算有时并不是主角。最简单的例子就是大家熟悉的平面几何，它很多时候只是在研究点线之间的“关系”。代数学刚开始被用作计算的符号表示，但随着其使用范围的扩大，人们发现它还可以表示各种各样的“关系”。在集合论中，我们已经看到过“关系”的精确定义，那么这里我开始对它的深入讨论...
分类：
其他好文 时间：
2015-05-10 17:19:36
阅读次数：
245
1. 陪集
现在继续研究群的分解，先来讨论一般子群之间、以及子群和父群的关系。首先根据子群的判定条件，如果\(H,K\leqslant G\)，则很容易有\(H\cap G\leqslant G\)。那么\(H\cup G\)呢?当然这里\(H,K\)都是真子群，并且不互相包含。从\(H\)中取元素\(h\not\in K\)，从\(K\)中取元素\(k\not\in H\)，则容易证...
分类：
其他好文 时间：
2015-05-10 17:18:50
阅读次数：
124
之前两篇是群的基本概念，我们对群的结构了解得还很少。进一步的研究需要深入其本质，找到群最关键的特点。群的核心其实就是它的变换规律，要想看得更多，就必须回归到变换的特点上来。由此要把群放在更生动的场景下，才能体现其本性。这个思路是群论思想的精髓，后面我们还会回来继续研究，而这里只撷取比较简单的一种手段作为预热，并以其在有限群下应用来体会这种方法的强大。
1. 类方程
1.1 群的作用
...
分类：
其他好文 时间：
2015-05-10 17:17:05
阅读次数：
164
1. 代数系统
1.1 运算律
我们已经知道函数的概念，它表示集合间的一种映射关系。多数场景里，像和原像往往是同一个集合，这里就讨论这样的函数。一元函数\(f:A\mapsto A\)也被称为集合\(A\)上的变换，其中双射的变换也称为置换。一般如下式的多元函数，也被称为集合\(A\)上的\(n\)元运算。集合\(S\)以及其上的一些运算\(f_1,f_2,\cdots,f_m\)组成的系...
分类：
其他好文 时间：
2015-05-10 17:16:54
阅读次数：
293
