人老了，记性就不好，这个文章主要是整理一些定理，方便后面复习。没有证明。 常见的积性函数 单位函数 $$\epsilon(n)=[n=1]$$ 欧拉函数 $$\varphi(n)=n\sum(1 \frac{1}{p_i})$$ 表示小于等于n的数字中与n互质的数字个数。 莫比乌斯函数 $$\mu( ...
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2020-01-20 21:07:53
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题目背景 模板题，无背景。 题目描述 定义积性函数f(x)，且$f(p^k)= p^k (p^k ? 1)$（p是一个质数），求 $$ \huge \displaystyle \sum_{i=1}^{n}f(x) $$ 对109+7取模。 输入格式 一行一个整数n。 输出格式 一个整数表示答案。 输 ...
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2020-01-08 12:41:38
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简介 Min_25筛~~据说~~可以在$O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{logn})$处理出含有以下性质的函数f的前缀和: 1.$f(ab)=f(a)f(b)$，即f是一个积性函数 2.$f(p^k)$可以快速计算。 PS:本文没有关于复杂度的证明。。。 预处理 首先要预处理两个东 ...
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2019-12-25 20:49:32
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"题意" 默认$n\leqslant m$。 一波莫反后可得： $\sum\limits_{T=1}^{n}\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum\limits_{d|T}d^k\mu(\frac{T}{d})$ 前面显然是可以除法分块的，后面是个积性函数，可以线性筛。 设$f(x)= ...
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2019-12-20 20:57:00
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min25筛，可以用来求积性函数前缀和。 这个函数要求，$f(p^x)$能表示为关于$p^x$的一个多项式。 算法分两步： 1.求出所有质数的f和。 方法如下： 首先，把所有数当成质数代入多项式，求出一个“假的”前缀和。 然后，通过埃氏筛法，将非质数除去。 每次，当筛质数$P_x$时，将最小质因数大 ...
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2019-12-13 23:48:53
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原文链接：http://www.cnblogs.com/adelalove/p/9915175.html由于逆元是完全积性函数即f(m*n)=f(m)*f(n)于是f(i+1)=1'*2'*........*i'*(i+1)'左右两边同时乘上(i+1)左边得到f(i+1)*(i+1)右边得到1'*2 ...
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2019-12-08 17:46:06
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线性筛质数，可以通过输出ptop之后调整p数组的大小。pm[i]表示i的最小质因子，pk[i]表示含有i的最小质因子的幂。其他的积性函数主要依靠pk的值来求解，比如现在枚举的是t，求出了他的最小质因子的幂pk[t]，那么t/pk[t]与pk[t]显然是互质的。当t==pk[t]时，则t是p[j]的幂 ...
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2019-12-02 11:51:55
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浅谈欧拉函数【复习】 定义： φ(n)表示小于n的正整数中和n互质的个数; 性质： 1.积性函数：φ(n×m)=φ(n)×φ(m) （感性理解） 2.a^φ(n)^≡1（mod n)，当且仅当gcd(a,n)==1 （感性理解） 3.[1,n]中与n互质的数的和为n×φ(n)/2 4.Σφ(d)=n ...
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2019-11-05 16:51:57
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【51Nod 1769】Clarke and math2 题面 "51Nod" 题解 对于一个数论函数$f$，$\sum_{d|n}f(d)=(f\times 1)(n)$。 其实题目就是要求$g=f\times 1^k$。 考虑$1^k(n)$怎么求，因为$1(n)$是个积性函数，所以$1^k(n ...
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2019-11-04 15:42:41
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转眼就快联赛了，把筛法总结一下吧。 目前会的只有三个，埃筛，线筛，杜教筛。 怎么说这个东西。其实非常灵活。 首先我们知道筛法大多数用来筛积性函数，所以而积性函数和质数关系很大，所以先说一下怎么筛质数吧。 1.质数筛 $fr.$根号$n$暴力判断。 相当与在枚举因数，如果这个数没有非平凡因子（$n$除 ...
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2019-11-04 13:28:49
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