卡特兰数是组合数学中常见也是重要的特殊计数公式。 首先给出一个现实问题的模型： 给出凸多边形的边数n，求解该凸多边形内部不相交的对角线把这个区域分成三角形区域的方法数。 首先我们进行初步的分析，当n=2，h2=1,也就是说对于三角形，划分的情况数是1.这似乎有些不好理解，由于三角形内部无法添加对角线 ...
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2016-09-09 20:43:21
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常见的指数是形式的二项式定理我们是熟悉的，即对于(x+y)的n次幂，n取正整数，我们能将其展开成有限项数的多项式，但对于n取负数、分数，二项式是否成立了呢？ 1676年Newton拓展二项式定理，即证明了如下定理： 当(x+y)的指数取正整数时，就是拓展二项式定理的一种情况。 指数取正整数情况的证明 ...
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2016-09-07 20:40:15
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计数问题其实只是组合数学中的一小部分，以上也仅仅介绍了比较经典的结论。组合问题复杂多变，它们之间也少有联系，所以把组合数学称作一门学科并不准确。组合难题也会出现在各种益智趣题或竞赛难题中，随随便便就会出现一些未解的难题，所以我们也将止步于此。在结束本课之前，我决定再窥探一下组合问题中的一大类：组合设 ...
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2016-09-02 23:14:32
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1. 基本计数的母函数 现在来用母函数来求解基本计数问题，母函数既可以完成自动计数，还能表示计数本身，像Stirling数这种就只能用母函数表示。自动计数适用于可以分步的计数问题，并且目标值是每步值之和，这与多项式的运算性质有关。 1.1 组合数和分划数 直观上最符合这一特点的就是模型2，从\(n\ ...
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2016-09-02 23:11:25
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在中学大家都学过《排列组合》，计算机系的在大学里还学过《离散数学》。不同于主流数学中的研究对象（连续变量），它们主要讨论离散对象之间的布局。这些问题随处可见，最多见于形形色色的智力趣题和数学游戏。它们涉及的数学知识比较初等，但需要很强的技巧和脑力，至今未解的世界难题也是俯拾皆是。精确概括这些问题的共 ...
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2016-09-02 23:10:26
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1. 母函数 1.1 母函数的定义 计数问题的结果一般可以表示为自然数集上的函数\(f(n)\)，比如组合数\(\binom{n}{k}\)可以看成是关于\(k\)的函数。孤立的通项公式很难发现数值之间的内在联系，从而丢失了结果的整体性。本节介绍一下欧拉提出的母函数思想，它是计数问题的一个基本工具。 ...
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2016-09-02 22:02:25
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1. 基本计数 1.1 统一模型 本篇来讨论几个基本的计数问题，这些问题虽然都有各自的模型，但本质上却有着内在的联系，因此我们先建立一个统一的模型。现在有元素集\(E,F\)，它们的元素都有内在的结构，建立映射\(E\to F\)，问题是这样的映射有多少个？满射和单射有多少个？ 所谓有内在的结构，就 ...
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2016-09-02 21:55:19
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计数问题种类繁多，为了避免陷入漫无目的烧脑运动，我们先需要关注一些常用方法和结论。数学的抽象性和通用性是我们一直推崇的，从诸多特殊问题中发现一般性的方法，也总会让人兴奋和慨叹。一般教材多是以排列组合开篇，采用了一些技巧性很强的初等方法来讨论组合计数，我倒觉得可以直接先掌握一些锋利的工具，到时再看那些 ...
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2016-09-02 21:54:50
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另类递归式： h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); (从n开始,更常用) 前几个卡特兰数：规定C0＝1，而 分类 : 括号,栈,矩阵乘法, 凸多边形划分,二叉搜索树构造 步数上下,找零, C1＝1，C2＝2，C3＝5，C4＝14，C5＝42， C6＝132，C7＝429，C8＝143 ...
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2016-09-02 19:01:59
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6/7 这里简单写个题解，由于源代码无法查看，所以过了的题目的代码就不贴了。。。。 题A Problem A Daxia & Wzc's problem 题意：略 题解：这个东西显然推公式，最后推得的一个组合数学的公式与第一项和公差有关（具体公式隔太久不记得了，囧）。然后注意到这个m只有一千，虽然这 ...
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2016-08-31 13:46:33
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